Метод моментов

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: . Учитывая, что и , получим . (12)

Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (12) относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку.

 

Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка: , .

Учитывая, что , , , , имеем

(13)

Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив систему (5.2) относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки.

Разумеется, для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии надо располагать выборкой .

Пример. Случайная величина распределена по закону Пуассона

,

где – число испытаний, произведенных в одном опыте;

– число появлений события в -м опыте.

Найти методом моментов по выборке точечную оценку неизвестного параметра , определяющего распределение Пуассона.

Решение. Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка :

.

Приняв во внимание, что , , получим . Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения, окончательно имеем .

Итак, точечной оценкой параметра распределения Пуассона служит выборочная средняя: .

 

Пример. Найти методом моментов по выборке точечные оценки неизвестных параметров и гамма-распределения, плотность которого

.

Решение. Для отыскания двух неизвестных параметров необходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка :

, .

Учитывая, что , , , , имеем

(14)

Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения соответственно равны , , поэтому (143) можно записать в виде

Решив эту систему, окончательно получим искомые точечные оценки неизвестных параметров: , .