Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Непрерывные случайные величины




Пусть – непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения . Допустим, что вид плоскости распределения – функции – задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция.

Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют функцию аргумента :

. (16)

Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения случайной величины ищут так же, как в случае дискретной случайной величины.

Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов и :

.

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему

(17)

Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра (вероятность появления события в одном испытании) биноминального распределения ,

где – число появлений события в -м опыте;

– количество испытаний в одном опыте;

– число опытов.

Решение. Составим функцию правдоподобия: .


Учитывая, что и , получим

или .

Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Найдем первую производную по :

.

Приравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точку .

Найдем вторую производную по .

Легко убедиться, что при вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и ее надо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности биноминального распределения: .

Очевидно, что если появлений события наблюдалось в опытах, то

.

Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения, плотность которого .

Решение. Составим функцию правдоподобия

,

учитывая, что и, следовательно, :

.

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Найдем первую производную по : .

Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: . Найдем относительную точку, для чего решим полученное уравнение относительно : .

Найдем вторую производную по : .

Легко видеть, что при вторая производная отрицательна, следовательно, эта точка есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину, обратную выборочной средней: .







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 998. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия