Непрерывные случайные величины

Пусть – непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения . Допустим, что вид плоскости распределения – функции – задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция.

Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют функцию аргумента :

. (16)

Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения случайной величины ищут так же, как в случае дискретной случайной величины.

Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов и :

.

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему

(17)

Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра (вероятность появления события в одном испытании) биноминального распределения ,

где – число появлений события в -м опыте;

– количество испытаний в одном опыте;

– число опытов.

Решение. Составим функцию правдоподобия: .

Учитывая, что и , получим

или .

Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Найдем первую производную по :

.

Приравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точку .

Найдем вторую производную по .

Легко убедиться, что при вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и ее надо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности биноминального распределения: .

Очевидно, что если появлений события наблюдалось в опытах, то

.

Пример. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения, плотность которого .

Решение. Составим функцию правдоподобия

,

учитывая, что и, следовательно, :

.

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Найдем первую производную по : .

Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: . Найдем относительную точку, для чего решим полученное уравнение относительно : .

Найдем вторую производную по : .

Легко видеть, что при вторая производная отрицательна, следовательно, эта точка есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину, обратную выборочной средней: .