Интервальные оценки
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.
1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал
, (18)
где – точность оценки;
– объем выборки;
– значение аргумента функции Лапласа , при котором ; при неизвестном (и объеме выборки )
, (19)
где – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3 по заданным и .
2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратичекого отклонения нормально распределенного количественного признака по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал
(20)
где находят по таблице приложения 4 с заданными и .
3. Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности биноминального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами и )
,
где (21)
где – общее число испытаний; – число появлений события; – относительная частота, равная отношению ; – значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором ( – заданная надежность).
Замечание. При больших значениях (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала
, . (22)
Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,975 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .
Решение. Требуется найти доверительный интервал
. (23)
Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения . По таблице приложения 1 находим . Подставив , , , в (23), окончательно получим искомый доверительный интервал .
Пример. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.
Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: .
Отсюда . (24)
по условию, ; следовательно, . По таблице приложения 2 найдем . Подставив , и в (24), получим искомый объем выборки .
Пример. Произведено 15 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0,7. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическом отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего с заданной надежностью :
. (25)
По данным и по таблице приложения 4 найдем . Подставив , в соотношение (25), окончательно получим .
Рекомендуемые страницы:
|