Методика определения полезности

Для принятия решений необходимо установить предпочтительность различных критериев (меру полезности тех или иных исходов) для лица, принимающего решение. Методика определения полезности разработана в работе [18].

Практическое применение теории полезности основывается на следующих аксиомах [27]:

1) Результат x_i оказывается предпочтительнее x_j тогда и только тогда, когда u(x_i) ³ u(x_j), где u(x_i) и u(x_j) – полезности результатов x_i и x_j соответственно.

2) Транзитивность: если x_i> x_j , а x_j > x_k , то u(x_i) > u(x_k).

3) Линейность: если некоторый результат х представлен в виде x=(1-k)x₁+ kx₂, где 0 £ k £ 1, то u(x₁) = (1-k) u(x₁)+ k u(x₂).

4) Аддитивность: если u(x₁, u₂) – полезность от достижения одновременно результатов x₁ и x₂ , то свойство аддитивности следующее:

u(x_1, x₂) = u(x₁)+ u(x₂). (2.12)

Аналогично, если имеется n результатов, x₁, x₂, …, x_n, достигаемых одновременно, то

u(x₁, x₂, …, x_n) = u(x₁ + x₂ + … + x_n)= u(x_i). (2.13)

Рассмотрим несколько вариантов алгоритмов определения полезности для различных случаев.

 

I. Случай, когда имеются два результата. Тогда алгоритм определения полезности имеет вид:

Шаг 1. Определим, какой результат предпочтительнее для лица, принимающего решение. Пусть x₁ > x₂, т. е. x₁ предпочтительнее, чем x₂.

Шаг 2. Определим такую вероятность a, при которой достижение результата x₁ будет эквивалентно достижению результата x₂, получаемому с вероятностью 1.

Шаг 3. Оценим соотношение между полезностями результатов x₁ и x₂. Для этого примем полезность u(x₂ )=1. Тогда au(x₁ )= u(x₂ ), откуда u(x₁ )= .

II. Случай, когда имеется n возможных результатов x₁, x₂, …, x_n, между которыми установлено отношение предпочтения x₁> x₂> … > x_n. Тогда алгоритм определения полезности заключается в следующем:

Шаг 1. Определяем величину a₁ из условия a₁ u(x₁ ) = u(x₂ )

Шаг 2. Аналогично определяем a₂ из условия a₂ u(x₂ ) = u(x₃ ),

........................,

a_n-1 из условия a_n-1 u(x_n-1)= u(x_n ).

Шаг 3. Положив полезность наименее предпочтительного результата x_n равной единице, находим

u(x_n )=1, u(x_n-1 )= ,..., u(x₁ )= . (2.14)

III. Случай, когда некоторые критерии являются качественными. Применяется методика, основанная на алгоритме, предложенном Р. Акофом и Р. Черчменом [18].

Таблица 2.1.

	x1 или x2 + x3 + … + xn
	x1 или x2 + x3+ … + xn-1
	x1 или x2 + x3 + … + xn-2
…	......................
n	х2 или x3 + x4 + … + xn
n+1	х2 или x3 + x4 + … + xn-1
n+2	х2 или x3 + x4 + … + xn-2
n+3	х2 или x3 + x4 + … + xn-3
…	.....................
N	xn-2 или xn-1 + xn

Пусть имеется n результатов x₁ , x₂ , …, x_n. Алгоритм определения полезности заключается в следующем:

Шаг 1. Упорядочивают все результаты по убыванию предпочтительности. Пусть x₁ - наиболее, а x_n – наиболее предпочтительный результат.Составляют таблицу возможных комбинаций результатов, достигаемых одновременно, и затем устанавливают их предпочтение относительно отдельных результатов x₁, x₂, …, x_n (см. таблицу 2.1.). Информацию о предпочтительности результатов предоставляют эксперты.

Шаг 2. Приписывают начальные оценки полезности отдельных результатов u₀(x1), u₀(x₂), …, u₀(x_n). Затем подставляют начальные оценки в последнее соотношение таблицы 2.1. Если это соотношение удовлетворяется, то оценки остаются без изменения. В противном случае производят коррекцию полезностей таким образом, чтобы удовлетворялось данное соотношение.

Шаг 3. Переходят к следующему соотношению. Процесс коррекции продолжается до тех пор, пока не образуется оптимальная система оценок u*(x₁), u*(x₂), …, u*(x_n).

Пример 2.1. Пусть эксперт упорядочивает пять результатов x₁ , x₂ , x₃, x₄, x₅, приписав им следующие оценки:

u₀(x1)=7; u₀(x₂)=4; u₀(x₃)=2; u₀(x₄)=1, 5; u₀(x₅)=1.

Рассмотрев возможные варианты выбора, он высказал следующее суждение относительно ценности тех или иных комбинаций результатов:

1) x₁ < x₂ + x₃ + x₄+ x₅,

2) x₁ < x₂ + x₃ + x₄,

3) x₁ < x₂+x₃ + x₅,

4) x₁ > x₂ + x₃,

5) x₂ < x₃ + x₄+ x₅,

6) x₂ > x₃ + x₄,

7) x₃ > x₄+ x₅.

Нужно произвести оценку полезности результатов так, чтобы удовлетворить всем неравенствам. Подставим начальные оценки в неравенство 7):

u₀(x₃)=2 < u₀(x₄) + u₀(x₅)=1, 5+1=2, 5.

Следовательно неравенство 7) не удовлетворяется. Изменим полезность результата x₃: u₀(x₃)=3 и проверим неравенство 6):

u₀(x₂)=4 < u₁(x₃) + u₀(x₄)=3+1, 5=4, 5

Неравенство 6) также не удовлетворяется, поэтому выполним коррекцию u₁(x₂)=5, при этом неравенство 5) тоже удовлетворяется.

Рассмотрим неравенство 4):

u₀(x₁)=7< u₁(x₂) + u₁(x₃)=5+3=8.

Оно не выполняется, поэтому примем u₁(x₁ )= 8, 5.

Теперь неравенства 3), 2), 1) тоже удовлетворяются. Проверим ещё раз неравенства 6) и 7) при измененных значениях полезностей: 5> 3+1, 5 и 3 > 1, 5 + 1. Оба неравенства выполняются.

Выпишем окончательные оценки полезности результатов:

u₁(x1)=8, 5; u₁(x₂)=5; u₁(x₃)=3; u₁(x₄)=1, 5; u₁(x₅)=1.

Рассмотренная методика определения полезности применима, когда количество результатов n ограничено n £ 7. В случаях, когда количество результатов n > 7 в работе [18] предложена модификация рассмотренного алгоритма, которая заключается в следующем.

1. Множество результатов разбивают на подмножества, состоящие из 5 - 7 результатов и имеющие один общий результат, например, x₁.

2. Затем приписывают начальные значения полезности для всех результатов, причем полезность общего результата x₁ одинакова во всех подмножествах.

3. Далее применяют способ коррекции оценок полезности независимо в каждом подмножестве с ограничением u(x₁ )=const.

4. В результате получают систему полезностей с единой мерой для всех подмножеств u(x₁ ).