Лабораторная работа № 4. Матричные игры

 

Рассмотрим матричные игры, антагонистические игры, в которых оба игрока имеют конечные множества стратегий.

3.3.3.Примеры матричных игр.

Пример 1. Два игрока кладут одновременно на стол по монете. Если обе монеты выложены одной стороной, то они достаются первому игроку, в противном случае они достаются второму игроку.

Построим матрицу для первого игрока. Для второго матрица строится аналогично.

 

О Р

О

Р

 

 

Пример 2. Игра Морро.

Игроки одновременно показывают 1 или 2 пальца и в тоже время называют число. Если число, названное одним из игроков, совпадает с общим числом пальцев, то игрок получит от своего противника выигрыш равный этому числу. Если оба угадают верно, то чистый платёж будет равен нулю.

 

 

Пример 3. Оборона города («Игра полковника Блотто»)

Полковник Блотто имеет т полков, а его противник — n полков. Противник защищает две позиции. Позиция будет занята полковником Блотто, если на ней наступающие полки окажутся в численном превосходстве. Противоборствующим сторонам требуется распределить полки между двумя позициями.

Определим выигрыш полковника Блотто (игрока 1) на каждой позиции. Если у него на позиции полков больше, чем у противника (игрока 2), то его выигрыш на этой позиции равен числу полков противника плюс один (занятие позиции равносильно захвату одного полка). Если у игрока 2 полков на позиции больше, чем у игрока 1, то игрок 1 теряет все свои полки на этой позиции и еще единицу (за потерю позиции). Если обе стороны имеют одинаковое число полков на позиции, то имеет место ничья и каждая из сторон ничего не получит. Общий выигрыш игрока 1 равен сумме выигрышей на обеих позициях.

Игра, очевидно, антагонистическая. Опишем стратегии игроков. Пусть, для определенности, т> п. Игрок I имеет следующие стратегии: х₀ = (т, 0) — послать все полки на первую позицию, x_l =(т—i, i)—(m-i) полков послать на первую позицию, а i — на вторую, х_m = (0, m). Противник имеет такие стратегии: У₀ = (п, 0), у₁=(п —i, i),..., у„ = (0, п).

Так, при m=4, n = 3, рассмотрев всевозможные ситуации, получим матрицу выигрышей этой игры:

	Y0	Y1	Y2	Y3
X0
X1				-1
X2	-2			-2
X3	-1
X4