СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

 

1°. Если во множестве А с бинарной операцией существует нейтральный элемент е, тоон единственный.

Доказательство. Пусть во множестве А существуют два нейтральных элемента e и е относительно бинарной операции . Тогда согласно определению 11 выполняются условия

, (7)

. (8)

В частности, при х = и х = соответственно в (7) и (8) получаем

.

Отсюда из равенства левых и средних частей получаем .

ч.т.д.

2°. Если во множестве А с бинарной операцией существует нейтральный элемент е, то все левые и правые нейтральные элементы совпадают с ним.

Доказательство. Это свойство является непосредственным следствием свойства 1°.

ч.т.д.

3°. Нейтральный элемент е относительно бинарной операции на множестве А является центральным элементом относительно бинарной операции .

Доказательство. Свойство 3° следует из определений центрального и нейтрального элементов (условия для определений одни и те же относительно элемента е).

ч.т.д.

4°(5°). При гомоморфизме (изоморфизме) h: А А' алгебры A = (А; , е) в (на) однотипную алгебру A ' = (А'; , е') нейтральный элемент е, относительно бинарной операции переходит в нейтральный элементе' относительно бинарной операции .

Доказательство. Пусть при гомоморфизме (изоморфизме) h алгебры A = (А; е) в (на) однотипную алгебру A '=(А '; , е') элемент х переходит в элемент х', а нейтральный элемент е, относительно бинарной операции на А переходит в элемент h (e) = е' множества A '. Покажем, что h (e) = е' -нейтральный элемент относительно бинарной операции на А '.

Учитывая то, что h - гомоморфизм (изоморфизм), а е - нейтральный элемент, имеем

.

или то есть элемент h (е)= е ' - нейтральный элемент относительно бинарной операции на А.

ч.т.д.