П. 5. Поглощающие элементы

Пусть - бинарная операция во множестве А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Элемент называется поглощающим относительно этой операции, если для любого выполняется равенства

.

Таким образом 0 – поглощающий элемент относительно операции умножения.

Как и для нейтральных элементов, доказывается, что в А не может быть двух различных поглощающих элементов относительно операции . В самом деле, если и ₁ – поглощающие элементы, то ₁ должно равняться и , и ₁, а потому = ₁.

Если - поглощающий элемент относительно операции , то любое выражение, содержащее лишь эту операцию, в которое входит , можно заменить на .

Например, .

п. 6. Регулярные элементы.

Пусть - бинарная операция на множестве А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Элемент r из А называется регулярным слева относительно бинарной операции , если выполняется условие:

. (9)

По-другому, элемент r из А регулярен слева, - если возможно " левое сокращение" на r .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Элемент r из А называется регулярным справа относительно бинарной операции , если выполняется условие:

. 10)

По-другому, элемент r из А регулярен справа, - если возможно " правое сокращение" на r .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Элемент r из А называется регулярным относительно бинарной операции , если он регулярен слева и справа относительно , то есть выполняются условия:

.

Таким образом, в случае регулярности элемента r относительно бинарной операции в равенствах типа r х = r у и х r=у r возможно " сокращение" на r.