В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов

1. Интеграл вида , где - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.

2. Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида , где - рациональная функция двух переменных, применяются следующие подстановки:

а) Если функция нечетна относительно первой переменной, т.е. , то применяется подстановка .

b) Если функция нечетна относительно второй переменной, т.е. , то применяется подстановка .

c) Если функция четна относительно обеих переменных, т.е. , то применяется подстановка .

3. Интегралы вида , и приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

4. Рассмотрим интегралы вида , где n и m – целые неотрицательные числа.

Если n – нечетное число, то можно сделать подстановку . Тогда , и данный интеграл приводится к виду . Если n – число четное, но нечетным будет m, то аналогично можно сделать подстановку и привести интеграл к виду .

Если оба показателя n и m четные, то применяют формулы понижения степени: .

5. Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности:

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки .

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку*: .

Тогда

.

 

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Функция, стоящая под интегралом, нечетна относительно синуса: , поэтому сделаем подстановку . Тогда

 

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем произведение, стоящее под знаком интеграла в сумму:

.

 

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Так как стоит в нечетной степени, то сделаем замену . Тогда

.

 

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь стоит в четной степени, поэтому воспользуемся формулами понижения степени: