Примеры решения задач. Задача-пример 1. Тело, выведенное из состояния покоя, двигаясь равноускоренно, прошло 200 м за 10 с

Задача-пример 1. Тело, выведенное из состояния покоя, двигаясь равноускоренно, прошло 200 м за 10 с. Какое расстояние прошло тело за 2 с от начала движения?

Решение: Необходимо рассмотреть несколько состояний, которые условимся называть: начальное, 1-е и 2-е. В каждом из них движение характеризуется значением скорости, пройденным от начала движения расстоянием за соответствующий промежуток времени.

По условию движение является равноускоренным. Так как о положении тела по отношению к другим телам ничего не говорится, то записываем закон равноускоренного движения для пройденного пути (форма 1, см. ф-лу (2)):

тогда . Для участков 0-1 и 0-2 получаем соответственно конкретные равенства: и . Делим одно на другое и выражаем искомое расстояние:

Þ . Вычисляем: (м).

Ответ: за 2 с от начала движения тело пройдет 8 м. ¨

 

Задача-пример 2. Автомобиль остановился у светофора. После того, как загорелся зеленый сигнал, он начинает двигаться с ускорением 1, 6 м/с² и движется так до тех пор, пока скорость не станет равна 57, 6 км/ч, после чего он продолжает движение с постоянной скоростью. На каком расстоянии от светофора автомобиль окажется спустя 5 с (10 с и 15 с) после появления зеленого сигнала?

 

Прежде всего необходимо ответить на вопрос: Как движется тело? Ответ «равноускоренно» – неверен! В условии четко сказано, что тело движется равноускоренно лишь до определенного момента, который надо обязательно учесть, а значит и показать на рисунке – до положения 1 тело движется равноускоренно, затем равномерно с заданной скоростью. Таким образом, характер движения зависит от величины заданного промежутка времени!

Итак, пройденное расстояние складывается из пути при равноускоренном движении и пути при равномерном движении: S = S₁+S₂, где и . Здесь - время равноускоренного движения от начальной нулевой скорости до известной конечной скорости, равной . Найдем его из зависимости скорости от времени при равноускоренном движении (см. ф-лу (4)): Þ . Тогда и . Находим искомое расстояние, подставляя найденные выражения: .

Мы получили, вроде бы, общее решение. Решим задачу с учетом конкретных данных. Вычислим время, необходимое для достижения заданной скорости при движении с данным ускорением: (с). Тогда делаем вывод, что в случае, когда t = 5 с, все 5 с тело будет двигаться равноускоренно и получаем: . Вычисляем: (м). Если же t = 15 с, то используем полученную общую формулу в полном объеме и получаем значение: (м). При этом (м) и (м). Кроме того, если задано t = 10 с, то можно воспользоваться как формулой для S₁, так и общей формулой для S: (м) или (м).

Итак, общее решение задачи должно правильно давать ответы для всевозможных числовых значений заданных в условии величин! Тогда с учетом этого наше общее решение будет иметь такой вид:

при и при .

Ответ: спустя 5 с после появления зеленого сигнала автомобиль окажется на расстоянии 20 м от светофора; через 10 с он будет на расстоянии 80 м, а через 15 с – на расстоянии 160 м от него. ¨

Замечание. Важно отметить, что полученная общая формула является формулой зависимости пути от времени, т.е. законом движения автомобиля после включения зеленого сигнала светофора, записанным в форме, выражаемой формулой (2). Т.е. приведенная в качестве примера задача относится к группе задач, решаемых на основе записи закона движения тела в форме «зависимости пути от времени» (форма 1). Другая группа задач по кинематике предполагает запись закона движения выбранного тела в форме 2 – «зависимости координаты от времени» (см. формулу (3)).

Задача-пример 3. Тело брошено с высоты H ₀ = 20 м вертикально вверх со скоростью V₀ = 5 м/с. Где будет находиться тело через время t = 0, 5; 1; 2; 10 с? Найти время полета тела.

Анализируя условие задачи, убеждаемся в том, что в данном случае имеет значение положение тела (требуется ответить на вопрос «Где?»), т.е. его координата (движение одномерное – вд оль одной прямой, значит достаточно одной координаты, чтобы точно задать положение тела), задающая положение тела по вертикали. Отсюда делаем вывод о необходимости задания оси координат (направленной прямой с началом отсчета и масштабом). Ось выбирается вдоль направления движения, ее направление можно выбрать двояко (вверх или вниз), а начало отсчета можно брать в любой точке. Этот момент в решении задачи содержит некоторый «произвол» решающего. Выбор направления оси скажется на знаке перед векторными величинами в записи закона движения (только и всего!), а положение начала отсчета должно будет учитываться при определении начальной координаты тела и при задании его положения соответствующими координатами. Второй момент требует рационального выбора начала отсчета с учетом условия задачи.

В нашем случае в задаче известна высота, с которой брошено тело, соответственно хотелось бы ответить на поставленный вопрос указанием соответствующего расстояния от поверхности Земли до искомого положения тела. Поэтому выбираем начало отсчета так, чтобы высота тела над землей была равна его координате, т.е. у поверхности Земли.

Ясно, что закон движения теперь надо записывать в форме 2. Определим сначала вид движения. Неверно сказать, что тело движется «равнозамедленно» (так лишь на участке движения вверх) или «равноускоренно» (так лишь на участке движения вниз). Правильно будет сказать, что тело движется с постоянным ускорением под действием силы тяжести, т.е. = = const. Получаем:

- это общая формула зависимости от . Подставляя вместо одной из этих переменных некоторое ее значение (например, t₁), автоматически вместо второй переменной становится соответствующее значение (y₁) и наоборот. Это очень важное для понимания обстоятельство ложится в основу получения конкретных равенств.

Итак, при t = t₁ y = y₁, т.е. подставляем и получаем:

, аналогично для всех данных в условии значений времени. Но!!! Учитывая физическую сущность задачи (в отличие от математических абстракций, выраженных формулами), надо заметить, что координата тела различна лишь когда тело движется (изменяет положение в пространстве). Иначе говоря, если тело перестает двигаться, то для всех последующих значений времени ее координата остается неизменной! В нашем случае, когда тело упадет на Землю, его координата станет равной нулю и будет таковой для всех значений времени , где t’ – время полета тела (время его движения над поверхностью Земли). Его значение ищем подстановкой:

при t = t’ y = 0, т.е.

. Решаем это квадратное уравнение, приведя предварительно его к виду приведенного квадратного уравнения:

,

, значит математически имеется два корня:

и .

Очевидно, что второй корень при любых значениях начальной скорости будет отрицательным, а значит задача имеет лишь единственное физическое решение:

.

Вычисляем (с) – искомое время полета тела. Теперь можно сказать, чему равна координата тела, например, при t₄ = 10 с: y₄ = 0.

Общее решение данной задачи получается в связи с этим в виде:

 

при и

при .

Вычисляем искомые значения координат:

y(0, 5) = 20 + 5× 0, 5 - 5× 0, 25 = 21, 5 (м) – выше первоначального положения,

y(1) = 20 + 5× 1 - 5× 1 = 20 (м) – на той же высоте, что и в начале,

y(2) = 20 + 5× 2 - 5× 4 = 10 (м) – ниже начального положения,

y(10) = 0 (м) – на поверхности земли. ¨

 

Задача-пример 4. На горизонтальном валу, совершающем 200 об/с, на расстоянии 20 см друг от друга закреплены два тонких диска. Для определения скорости полета пули произведен выстрел так, что пуля пробила оба диска на одинаковом расстоянии от оси вращения. Определить скорость пули, если угловое смещение пробоин оказалось равным 18⁰.

Решение: В данной задаче рассматриваются разные тела с различными видами движения.

Так, рассматривая вращательное движение пробоин, получим закон вращения: , где . Подставим: - общая формула зависимости угла поворота пробоин за время t.

С другой стороны, рассматривая равномерное движение пули, получим для нее закон движения: - общая формула зависимости пройденного расстояния от времени движения пули (форма 1).

На основе полученных общих формул запишем теперь конкретные равенства с учетом данных задачи. Для этого обозначим через t₁ – время полета пули между двумя дисками. Тогда за время t₁ пуля пройдет расстояние d, а вторая пробоина повернется на угол , т.е.:

и .

Делим второе на первое и выражаем искомую величину скорости пули:

Þ . Итак, получено решение в общем виде. Но…! Обращаем внимание на требование соблюдение единой размерности однородных величин. В дано записано значение угла поворота в градусах, в то время как все готовые формулы, которые мы использовали при решении предполагают, что угловые величины измеряются в радианах! Поэтому необходимо в общую формулу решения включить параметры перевода градусов в радианы. Проще всего осуществлять переход по пропорции:

радиан --- 360⁰

радиан --- ⁰. Отсюда , тогда получаем:

, т.е. окончательно имеем:

.

Вычислим:

(м/с).

Ответ: скорость пули равна 800 м/с ¨

Задача-пример 5. Вслед движущемуся со скоростью 7 м/с грузовику бросили мяч со скоростью 15 м/с. С какой скоростью мяч отлетит от кузова грузовика, если удар считать абсолютно упругим.

Решение: Делаем рисунок (рис. а), на котором указываем направления скоростей тел, рассматриваемых в данной задаче.

Анализируя условие задачи, замечаем, что мяч (Т) движется относительно двух систем отсчета: земля (К) и грузовик (К’), причем V₁ – переносная скорость (), а V₂ – абсолютная скорость мяча ( - относительно К, т.е. Земли). Причем спрашивается в задаче опять же про скорость относительно земли, в то время как сам удар происходит в системе отсчета К’.

Поэтому все решение представим в три этапа:

1 этап. Переходим к новой системе отсчета К’, т.е. найдем из формулы сложения скоростей (15) относительную скорость мяча:

или, в наших обозначениях: . Далее строим на основе векторного равенства треугольник скоростей (рис. б), из которого находим нужное числовое значение: V_отн2 = V₂ – V₁ = 15 – 7 = 8 (м/с). С такой скоростью мяч подлетает к грузовику. Это промежуточное вычисление можно не делать.

2 этап. Рассматривая абсолютно упругий удар мяча о грузовик заключаем, что мяч отлетит от кузова со скоростью, равной по величине и противоположной по направлению по отношению к : .

Причем все это в системе К’.

3 этап. Переходим обратно в систему отсчета К. Считая, что величина скорости грузовика не меняется в результате удара, делаем новый рисунок с указанием скоростей тел уже после удара (рис. в). Применяем опять формулу (15): .Строим по ней треугольник скоростей (рис. г) и получаем окончательно значение искомой величины:

.

Как видим, формула общего решения имеет векторный вид. Для нахождения числового значения искомой величины выбираем на рисунке направление оси х и проектируем последнее равенство на нее: V_3x = 2(-V₁) – (-V₂) = V₂ – 2V₁. Вычисляем: V_3x = 15 - 2× 7 = 1 (м/с).

Замечание. В случае, когда V₂ < 2V₁, мяч после удара о кузов будет двигаться в прежнем направлении (т.е. вслед грузовику), но с меньшей скоростью.

Ответ: 1 м/с. ¨

 

 

ЗАДАЧИ к разделу «Кинематика»