Теоретическая часть. Рассмотрим один из случаев плоского движения твердого тела, а именно: качение цилиндра по вогнутой цилиндрической поверхностиРассмотрим один из случаев плоского движения твердого тела, а именно: качение цилиндра по вогнутой цилиндрической поверхности. Плоским называется такое движение, при котором тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, например, качение цилиндра. Пусть – радиус цилиндрической поверхности, – масса цилиндра, – его радиус (рис. 3.1). Если цилиндр вывести из состояния равновесия, то его ось будет совершать гармонические колебания по закону: , (3.1) где максимальное угловое отклонение оси цилиндра от вертикали, – период колебаний. Угловая скорость движения относительно оси цилиндрической поверхности находится с помощью дифференцирования выражения для угла отклонения по времени: , (3.2) где – амплитуда или максимальное значение угловой скорости этого движения. Катящийся без проскальзывания цилиндр вращается также относительно своей собственной геометрической оси. Максимальную угловую скорость этого движения можно представить в виде: , (3.3) Будем рассматривать полную кинетическую энергию цилиндра как сумму кинетической энергии движения относительно оси цилиндрической поверхности и кинетической энергии движения относительно собственной оси. При прохождении положения равновесия: , (3.4) , (3.5) где –момент инерции цилиндра относительно оси цилиндрической поверхности, – момент инерции относительно собственной оси цилиндра. При написании соотношения (3.4) была использована теорема Штейнера, согласно которой: . В процессе движения цилиндра периодически происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Максимальное значение потенциальной энергии будет равно (см. рис. 3.1): . (3.6) Будем полагать, что цилиндр совершает малые колебания около положения равновесия. Тогда и, следовательно: . (3.7) По закону сохранения механической энергии: . (3.8) Подставим полученные ранее выражения для кинетической энер-гии (3.4), (3.5) и потенциальной (3.7) в соотношение (3.8): . (3.9) Отсюда можно найти период колебаний: . (3.10) Кроме того, соотношение (3.9)можно использовать для определения момента инерции цилиндра , измерив экспериментально период колебаний на данной вогнутой цилиндрической поверхности: . (3.11)
|