Лекция№22

Энергетический метод определения частот собственных колебаний (метод Релея).

Основан метод на законе сохранения энергии. Процесс колебания рассматривается, как процесс постоянного преобразования кинетической энергии-К в потенциальную - П. Когда система достигает крайних положений К=0, П=max, а когда проходит через положение статического равновесия К=max, П=0. Сумма К+П=const, а следовательно . (очевидно, что затухание не учитывается)

 

 

 

Порядок расчета:

 

1.Задают уравнение перемещений

y(x)- наибольшее отклонение от положения равновесия.

2. Вычисляют П.

;

3.Вычисляют k.

4. Определяют

(1) или (2)

Если система имеет гибкие безмассовые участки, то в выражении для потенциальной энергии добавляется член , где - эпюра моментов для гибкой части при амплитудном отклонении масс.

 

Формулой (2) рекомендуется пользоваться для систем с одной степенью свободы, но с несколькими массами.

Формулой (1) можно пользоваться для определения w систем с бесконечным числом степеней свобод, в этом случае П вычисляется, как потенциальная энергия деформации связанная с изгибом.

;

, а выражение (1) принимает вид: (3)

Точность результата зависит от удачного задания формы колебаний, если форма задаваемая совпадает с действительностей, то получают точное решение как например, для шарнирно опертой балки, если y(x)=sin . При случайно задаваемых кривых частота, определяемая энергетическим методом, всегда выше истинной.

Для системы упругой с несколькими массами, например,

Потенциальную энергию деформации можно выразить через работу внешних сил P=m на перемещениях .

, тогда формула (1) принимает вид:

Пример:

 

Пример:

Пример:

Определить амплитуду вынужденных

колебаний в т. В.

y(x)=dx

 

;