Среднее значение оператора. Соотношения между среднеквадратичными значениями некоммутирующих операторов

86. Средним значением оператора в состоянии называется число вида

. (86)

Эту величину по аналогии с теорией случайных величин называют еще математическим ожиданием оператора в состоянии .

87. Оператор называется неотрицательно определенным, если для любого состояния

. (87)

88. Рассмотрим эрмитов оператор , имеющий дискретный спектр собственных значений l _n. Его собственные векторы образуют ортонормированный базис в пространстве векторов состояния. Произвольный вектор состояния может быть разложен по этому базису в соответствии с (57¢). Подстановка разложения (57¢) в (86) приводит к следующему способу вычисления среднего значения оператора в дискретном спектре:

. (87)

89. Если векторы являются собственными векторами оператора , то, учитывая, что в собственном представлении его матрица диагональна: M_mn = m _m d _mn, из (86) найдем, что,

. (88)

Если среднее значение (87) вычисляется в одном из собственных состояний оператора , то f_m = d _mn и

, (88¢)

т.е. среднее значение оператора в собственном состоянии равно соответствующему собственному значению.

90. В частном случае, когда , определение среднего значения (86) сводится к скалярному квадрату волновой функции, описывающей состояние , а из правой части (88) для дискретного спектра вытекает, что

. (89)

Сходимость ряда, стоящего в правой части (89), является условием существования разложения (57¢). В этом случае без нарушения общности можно рассматривать только такие состояния, для которых

. (90)

Это условие называется условием нормировки вектора состояния (волновой функции). Оно может быть строго обосновано только, если имеет место разложение (57¢).

Сравнение (89) и (90) показывает, что, если вектор состояния нормирован, то

. (90¢)

91. В случае, когда вектор состояния разложим по собственным векторам эрмитового оператора , имеющего непрерывный спектр,

, (91)

то среднее значение оператора , определенное согласно (86), запишется следующим образом:

. (92)

92. Если – единичный оператор, то из (90) следует, что

. (93)

В случае, когда интеграл, стоящий в правой части (93), сходится, можно наложить на векторы состояния условие, аналогичное (90). Но, в общем случае, множество собственных векторов не обладает свойством полноты. При этом, как и в случае со следом (86) оператора, имеющего непрерывный спектр, величина оказывается неопределенной. В частности, среднее значение в состоянии , соответствующее собственному значению m, вообще говоря, не определено, т.к. в этом состоянии f (k) = d(k – m), , что в интеграле (92) приводит к выражению

.

Таким образом, понятия нормировки волновой функции в непрерывном спектре и понятия среднего значения оператора, определение матричных элементов оператора и т.п. требуют дополнительного анализа. Эти проблемы удается рассмотреть под другим углом зрения с помощью понятия волнового пакета.

93. Волновым пакетом ширины Dl в спектре оператора называется выражение вида

, (94)

составленное из собственных функций y(q, x) оператора на некотором отрезке . Отрезок назовем областью определения волнового пакета.

Понятие волнового пакета возникает естественным образом, если интегральное представление (68) записать явно с помощью определения интеграла Римана:

(95)

Вводя понятие инфинитезимального волнового пакета

, (96)

запись (68), (95) можно трактовать так:

. (95¢)

Таким образом, разложение функций по волновым пакетам, составленным из собственных функций некоторого эрмитового оператора, имеющего непрерывный спектр, равносильно разложению этой функции по собственным функциям этого оператора.

94. Скалярное произведение произвольных волновых пакетов определяется так же, как и скалярное произведение волновых функций:

(97)

где вектор состояния надо трактовать в таком же абстрактном смысле, что и векторы состояния, введенные в п. 7. Вектор состояния , отвечающий инфинитезимальному волновому пакету, в соответствии с (96), (97) связан с собственным вектором состояния оператора :

. (96¢)

Если на собственные функции (векторы состояния) накладывается условие (69), то в (97) можно проинтегрировать по всему конфигурационному пространству, получив:

. (98)

Величина двойного интеграла в (98) при конечных Dl и Dl¢ всегда конечна. Чтобы это показать, рассмотрим следующие случаи.

1) Если отрезки интегрирования в (98) не перекрываются, то в силу свойств дельта-функции

т.е. волновые пакеты с непересекающимися областями определения ортогональны.

2) Если один из отрезков , вложен в другой, то интеграл (А.3) сводится к ширине этого отрезка:

3) Наконец, если эти отрезки имеют общий отрезок перекрытия:

,

то результат интегрирования в (98) равен ширине отрезка перекрытия b – a. В случае, когда

,

a = l - Dl/2, b = l¢ + Dl¢ /2, так что эта ширина равна l¢ - l + Dl¢ /2 + Dl/2. Если же

,

то a = l¢ – Dl¢ /2, b = l + Dl/2, и ширина отрезка перекрытия составит l - l¢ + Dl¢ /2 + Dl/2.

Таким образом, во всех случаях перекрытия областей определения волновых пакетов их скалярное произведение равно ширине области перекрытия, которая всегда конечна:

(99)

95. Нормировка волновых пакетов, составленных из собственных функций оператора , имеющего непрерывный спектр, в отличие от (68) теперь может быть произведена на 1:

 

, (100)

С помощью понятия волнового пакета, составленного из собственных функций оператора , можно ввести следующее определение матричных элементов некоторого оператора на волновых пакетах этого оператора (назовем его пакетным матричным элементом):

(101)

В частности, для самого оператора

(102)

Вычисление интеграла в (102) необходимо проводить для следующих трех отдельных случаев, рассмотренных в п. 95.

1) Если отрезки , не перекрываются, то интеграл в (102) в силу свойств дельта-функции равен нулю.

2) Если один из отрезков , вложен в другой, то

(102.1)

3) Если отрезки , пересекаются по отрезку [ a, b ], то

, (102.2)

где a и b определены в п. 95. Таким образом, во всех случаях данные матричные элементы будут иметь конечные значения.

Если ввести в рассмотрение среднее значение оператора по волновым пакетам оператора (назовем его пакетным средним) следующим образом:

(103)

то для самого оператора из (102.1) и (102.2) следует, что

. (104)

Этот результат достигается только при вычислении пакетного среднего значения, тогда как среднее значение оператора в любом из собственных состояний, соответствующих собственным значениям из непрерывного спектра, как было показано в п. 93, по крайней мере, не может быть конечным.

В то же время это исчисление не удается развить непротиворечивым образом на произведение операторов и, в частности, на операторы, возведенные в некоторую степень. Так, например, нельзя представить пакетный матричный элемент произведения операторов как сумму произведений пакетных матричных элементов сомножителей, аналогичную действиям с обычными матричными элементами произведения операторов, выписанными в строке 8 таблицы 1.

Чтобы это показать, рассмотрим пакетный матричный элемент произведения операторов

Отсюда видно, что переход к пакетным матричным элементам вида (101) для операторов и по отдельности невозможен, так как для этого пришлось бы ограничить пределы интегрирования по n до некоторого отрезка конечной длины, что дает только часть соответствующего выражения.

Таким образом, понятие пакетного среднего не дает возможности построить самосогласованный вычислительный аппарат в случае непрерывного спектра. Поэтому понятие волнового пакета широко не используется в литературе. Тем не менее, с этим понятием связаны некоторые эвристические представления, которые имеют определенное хождение особенно среди экспериментаторов и инженеров. О них будет сказано во второй части данного пособия, где будут рассмотрены операторы физических величин.

96. Покажем, что унитарное преобразование операторов и волновых функций не меняет среднего значения оператора. Пусть

,

где – унитарный оператор, определение которого дано в (41). Среднее значение (86) оператора в состоянии, описываемом волновой функцией :

.

Полученный результат доказывает сделанное выше утверждение.

В частности, если оператор , то не меняется при унитарных преобразованиях.

97. Рассмотрим произвольный, не обязательно эрмитовый, оператор . Построим из него оператор . Этот оператор, очевидно, будет эрмитовым, и, более того, неотрицательно определенным:

. (105)

Действительно, пусть – некоторый эрмитов оператор, имеющий дискретный спектр в пространстве векторов состояния . Тогда подстановка (57¢) в выражение для согласно (88) дает:

при любых .

Если некоторый оператор имеет непрерывный спектр, то согласно (92)

.

если существуют интегралы , и интеграл по m сходится. Если сходимость этого интеграла не может быть обеспечена, то все равно, выражение является положительно определенным, хоть и не ограничено.

Аналогичные рассуждения, однако, нельзя провести применительно к волновым пакетам, так как на пакетные матричные элементы произведения операторов не распространяются действия, аналогичные действиям с обычными с матричными элементами операторов.

98. Среднеквадратичным значением оператора в состоянии называется величина

. (106)

Среднеквадратичным отклонением, или неопределенностью оператора в состоянии называется величина

. (107)

99. Пусть коммутатор эрмитовых операторов и отличен от нуля: . Построим оператор . рассмотрим построенный на его основе оператор . Как показано в п. 97, этот оператор будет эрмитовым и неотрицательно определенным. Из представления и условия (105) вытекает, что для любых двух эрмитовых операторов и :

. (108)

Возводя в квадрат обе части неравенства и, избавляясь, тем самым, от – i в правой части: , с учетом очевидного неравенства получим:

. (109)

Поскольку коммутатор эрмитовых операторов и является антиэрмитовым оператором (см. п. 36), то оператор эрмитов.

Соотношение (109) устанавливает ограничение снизу на значение произведения средних квадратов некоммутирующих эрмитовых операторов:

. (109¢)

Этот результат применим и к операторам и . Так как коммутатор , то из (109¢) в соответствии с определение (107) можно получить соотношение неопределенностей для произвольных некоммутирующих эрмитовых операторов:

. (110)

Следует иметь в виду, что неравенство (108) является более слабым условием, чем неравенство (109). Но (108) можно применять только к физическим величинам, имеющим одинаковые размерности. Неравенства (109), (109¢) и (110) применимы к операторам физических величин различных размерностей.