Пространство волновых функций

1. Объектом изучения в квантовой механике являются механические системы, положение которых в пространстве характеризуется обобщенными координатами qⁱ, i = 1, …, s, где s – число степеней свободы.

2. Будем рассматривать случаи, когда состояние квантовомеханической системы можно описать с помощью комплекснозначных функций обобщенных координат qⁱ: y(q) = y(q ¹, …, q^s), являющихся элементами линейного пространства A над полем комплексных чисел C. На эти функции накладываются требования дифференцируемости необходимое число раз и квадратичной интегрируемости. В квантовой механике эти функции называются волновыми функциями.

3. На пространстве волновых функций определяется скалярное произведение функций

, (1)

где d^sq = dq ¹… dq^s – элемент координатного объема в конфигурационном пространстве механической системы. В частности скалярный квадрат функции

,

 

что объясняет необходимость наложения на волновые функции условия квадратичной интегрируемости.

Из (1) вытекает следующее свойство скалярного произведения

. (1¢)

4. С помощью скалярного произведения (1) вводится понятие нормы вектора y(q), или его длины:

, (2)

так как интеграл положителен везде в области определения функции y(q) и обращается в ноль только при y(q) = 0.

Легко видеть, что (2) действительно обладает всеми свойствами нормы:

причем тогда и только тогда, когда y = 0;

; (3)

(неравенство треугольника).

5. Пространство A может быть конечномерным или бесконечномерным. В последнем случае число измерений может быть как счетно, так и несчетно. Такое пространство со скалярным произведением (1) называется гильбертовым пространством.

6. Наряду с пространством A волновых функций y(q), заданных в некоторой области конфигурационного пространства механической системы можно рассматривать пространство A_cket абстрактных векторов над полем комплексных чисел C, такое, что свертка его с вектором из сопряженного абстрактного пространства A_bra будет давать скалярное произведение (1)

. (4)

Векторы называются кэт-векторами, а векторы – бра-векторами соответствующего состояния, описываемого волновой функцией, стоящей в скобках. Названия происходят от разбиения на слоги слова «bra-cket» – «скобка» (Дирак). С абстрактными векторами и можно работать также как с самими волновыми функциями, рассматриваемыми как векторы: умножать на числа и складывать. При этом будут получаться другие векторы из пространств A_cket и A_bra соответственно. Только теперь векторы и нельзя рассматривать как некоторые комплекснозначные функции обобщенных координат. Но они так же, как и сами функции y(q) и j(q) будут рассматриваться как метки некоторого состояния квантовой системы.

Число можно представлять себе как результат скалярного произведения бра-вектора на кэт-вектор : .

7. Волновая функция y(q) может представлять собой набор волновых функций col(y¹(q), …, y ^N (q)) – координат некоторого вектора в N -мерном линейном пространстве, каждая из которых является, в свою очередь, элементом линейного пространства A. В этом случае скалярное произведение (1) определяется как

(5)

Знак ⁺ используется для обозначения т.н. эрмитовского сопряжения, которое в случае конечномерных пространств представляет собой сочетание двух действий: комплексного сопряжения и транспонирования (превращение столбцов в строки и наоборот). Смысл абстрактных векторов и при этом, в принципе, не меняется. Можно рассматривать многокомпонентные вектор-строки

и вектор-столбцы

,

перемножая их слева направо по правилу «строка на столбец». Однако, все это уже, в принципе, заложено в символах и . В дальнейшем будем говорить, что операция эрмитовского сопряжения ⁺ переводит кэт-векторы в бра-векторы и наоборот, понимая ее в этом случае абстрактно в такой же мере, в какой мере абстрактными являются сами векторы :

. (6)

Тогда, например, свойство (1¢) может быть получено путем естественного применения операции эрмитового сопряжения ⁺, понимаемой как сочетание операции комплексного сопряжения и транспонирования в смысле, определенном в (6).

 

Учебные вопросы

 

1. Сформулируйте определение скалярного произведения волновых функций.

2. Дайте определение нормы волновой функции.

3. Как вводятся в рассмотрение абстрактные векторы состояния Дирака (кэт- и бра-векторы)?

4. Как обобщается понятие скалярного произведения на случай многокомпонентных собственных функций?