Функции от операторов

102. Если – некоторый многочлен степени n с, вообще говоря, комплексными коэффициентами, то для некоторого линейного оператора выражение

(113)

представляет собой оператор, называемый многочленом от оператора. Если многочлен P (z) имеет вещественные коэффициенты, а оператор эрмитов, то многочлен от оператора (113) также будет эрмитовым оператором.

Собственные значения многочлена от оператора являются соответствующими многочленами от собственных значений оператора.

Многочлен P (z) называется аннулирующим многочленом оператора , если при подстановке в него оператора он обращается в нулевой оператор. Аннулирующий многочлен оператора , имеющий минимальную степень среди всех аннулирующих многочленов этого оператора, называется минимальным многочленом. Аннулирующий многочлен оператора, имеющий максимальную степень среди его аннулирующих многочленов, называется характеристическим многочленом оператора. В любом аннулирующем многочлене без нарушения общности можно считать a₀ = 1. Т.к. степень минимального многочлена конечна, то оператор, имеющий хотя бы один аннулирующий многочлен, назовем конечномерным оператором.

Характеристический многочлен конечномерного оператора равен определителю его l-оператора.

103. Если в некоторой области D комплексной плоскости функция f (z) может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда

, (114)

где a_k – комплексные коэффициенты, то формальная подстановка в (114) некоторого оператора даст выражение

, (115)

смысл которого зависит от свойств оператора . Если на множестве векторов состояния любые матричные элементы являются числами, лежащими в области D, то представление (104) имеет следующий смысл: числовые ряды

, (115¢)

сходятся в области значений для любых и . В этом случае будем считать, что функция от оператора определена в виде разложения (115).

По определению, в разложении (115) считается, что для любого оператора . Это предположение не противоречит (115¢).

Если коэффициенты разложения a_k в (114) вещественны, то функция от эрмитового оператора будет эрмитовым оператором (докажите!).

104. Если оператор является конечномерным, то, по определению, существует минимальный многочлен j _M (z) этого оператора

, (116)

где натуральное число p является степенью этого многочлена. Подстановка оператора в (105) дает операторное уравнение

, (117)

с помощью которого степень оператора можно выразить через его более низкие степени. Тогда, используя (117), ряд (115) можно свести к операторному многочлену вида (113) степени n = p – 1. Таким образом, любая функция от конечномерного оператора, имеющего минимальный многочлен степени p, представимая в виде сходящегося степенного ряда (114) при выполнении условий (115¢) может быть представлена как некоторый операторный многочлен (113) степени n = p – 1.

105. Экспонента от оператора определяется с помощью ряда

(118)

для любого оператора , так как функция

(119)

сходится абсолютно и равномерно во всей комплексной плоскости чисел z. Поэтому в этом случае условия (115¢) автоматически выполняются.

106. Для произвольных операторов и

. (120)

Равенство выполняется только тогда, когда операторы и коммутируют.

107. Любой обратимый оператор может быть представлен в виде экспоненты от некоторого оператора (107), при этом обратный оператор определяется рядом

, (121)

так как

.

108. Рассмотрим непрерывное семейство операторов , получаемое из оператора посредством преобразования подобия

,

где x – параметр, а – некоторый оператор. Производные этого оператора по параметру x ведут себя следующим образом:

.

Рассматривая разложение в ряд Маклорена по степеням x

при x = 1 можно получить

(122)

Это соотношение может быть использовано для вычисления оператора, подобного оператору . В частности, если его использование становится особенно простым, когда коммутатор перестановочен с оператором :

. (123)

Это, в частности, имеет место в случае, когда коммутатор является c -числом (см. п. 11.3). Тогда все коммутаторы , и т.д. обращаются в нуль.

109. Последнее замечание может быть использовано для нахождения экспоненты от суммы операторов и в случае, когда их коммутатор перестановочен с оператором и с оператором . Для этого представим оператор в виде

, (124)

где – некоторый оператор. Чтобы его найти, продифференцируем обе части (124) по x и слева подставим вместо правую часть (124). Получим

откуда вытекает следующее дифференциальное уравнение для оператора :

. (125)

Если коммутатор перестановочен с оператором (ср. с (123)), то в соответствии с (122)

. (126)

Подставляя (126) в (125), перепишем дифференциальное уравнение для оператора в следующем виде:

. (127)

Так как коммутатор перестановочен и с оператором , то решение (127) представится так:

.

Таким образом, если коммутатор операторов и перестановочен как с оператором , так и с оператором , то

. (128)

Аналогично можно показать, что , т.е. роли операторов в правой части (128), как и в левой части, равноправны. Экспоненциальный множитель при этом перестановочен с обеими экспонентами и , и может быть записан в любом месте произведения, стоящего в правой части (128). В частности, если , то сводится просто к умножению на функцию .

В частности, при x = 1 из (128) можно получить правило вычисления экспоненты от суммы любых операторов, если их коммутатор перестановочен с каждым из них:

. (129)

Упражнение. Покажите, что, если коммутатор операторов и перестановочен как с оператором , так и с оператором , то обращаются в нуль и коммутаторы , .

110. Любой унитарный оператор может быть представлен в виде

, (130)

где – некоторый эрмитов оператор. Эрмитовость оператора обеспечивает унитарность оператора (130):

.

111. Производная операторной функции по своему аргументу определяется следующим образом:

. (131)

В частности, производная по от

.

Учебные вопросы и задания:

1. Дайте определение среднего значения оператора.

2. Сформулируйте понятие среднеквадратичного значения оператора и среднеквадратичного отклонения оператора от его среднего значения (неопределенности)?

3. Какие операторы называются неотрицательно определенными?

4. В каких случаях может быть введено условие нормировки волновой функции (вектора состояния)?

5. Дайте определение волнового пакета собственных функций эрмитового оператора.

6. Покажите, что волновые пакеты с непересекающимися областями определения ортогональны.

7. Покажите, что волновые пакеты, имеющие перекрывающиеся области определения, нормируемы на 1.

8. Сформулируйте среднее значение оператора на нормированном волновом пакете.

9. Покажите, что среднее значение оператора на нормированном волновом пакете, составленном из собственных функций этого оператора, равно собственному значению этого оператора, являющегося серединой области определения волнового пакета.

10. Выведите соотношение между средними квадратичными значениями двух эрмитовых операторов в некотором состоянии и их коммутатора в этом же состоянии. Как из этого соотношения получить соотношение неопределенностей?

11. Как определяется зависимость оператора от параметра? Как можно дифференцировать в этом случае операторы по параметру?

12. Дайте определение многочлена от оператора. При каких условиях многочлен от эрмитового оператора будет эрмитовым оператором?

13. Как связаны собственные значения многочлена от оператора и самого оператора?

14. Какой многочлен называется аннулирующим многочленом оператора?

15. Каким образом можно представить произвольную функцию от оператора, и в каких случаях это представление возможно?

16. Покажите, что, если определена некоторая функция от конечномерного оператора, то она сводится к некоторому многочлену степени p – 1, где p – степень минимального многочлена оператора.

17. Как определить экспоненту от оператора?

18. Покажите, что экспонента от оператора является обратимым оператором.

19. Выведите свойство .

20. Покажите, что, если для двух операторов и справедливы соотношения: , , то .

21. Покажите, что любой унитарный оператор может быть представлен в виде , где – некоторый эрмитов оператор.

22. Каким образом можно сформулировать определение понятия производной функции от оператора по этому оператору?

 

 

Литература

 

1. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика с задачами. М.: Физматлит, УНЦ довузовского образования МГУ, 2001.

2. Боум А. Квантовая механика. Основы и приложения. М.: Мир, 1990.

[1] Оператор называется резольвентой оператора . Термин «l-оператор» является аналогом понятия l-матрицы в теории матриц.

[2] С соответствующими изменениями (лат.)