Задача на собственные значения и собственные функции линейных операторов

46. Уравнение (система уравнений)

, (44)

где l – вообще говоря, комплексное число, а , называется задачей на собственные значения и собственные функции оператора . Решение (44)

y(q) = y(l, q) = y_l(q) (45)

называется собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению l.

Записи (44) с учетом обозначений (45) можно поставить в соответствие абстрактную запись

, (46)

где – собственный вектор состояния оператора , отвечающий собственному значению l.

Собственные векторы (функции) оператора определены с точностью до умножения на оператор, коммутирующий с ним, т.е. если , то векторы состояния также будут собственными векторами оператора , отвечающими собственному значению l (проверьте!).

Применяя операцию эрмитового сопряжения к уравнению (46), получим, что сопряженные собственные векторы , согласно правилам (6), оказываются собственными векторами оператора , эрмитово сопряженного к оператору , отвечающими собственным значениям, комплексно сопряженным к l:

. (47)

47. Если существует обратный оператор , то, действуя им слева на обе части уравнения (46), найдем, что

, (48)

т.е. собственные векторы обратного оператора совпадают с собственными векторами исходного оператора, а его собственные значения равны l^–1.

48. Собственные значения эрмитовых операторов являются действительными числами. В самом деле, пусть оператор эрмитов: . Умножая (46) скалярно на , а (48) – скалярно на , и вычитая получающиеся равенства одно из другого, найдем, что . Т.к. по , то l = l*.

49. Если , из (46), (47) и (48) следует, что для любого унитарного оператора

.

Таким образом, собственные значения унитарных операторов по модулю равны 1: , т.е. могут быть представлены в виде l = e^{i a}.

50. Собственные векторы и эрмитового оператора , отвечающие различным собственным значениям l₁ ¹ l₂, ортогональны в смысле скалярного произведения (1), (4). Действительно, пусть . С одной стороны,

. (49.1)

С другой стороны, на основании свойства эрмитовости и определения эрмитово сопряженного оператора (35¢ ¢), с учетом (1¢), записанном в дираковских обозначениях в соответствии с (4), можно получить, что

. (49.2)

Разность (49.1) и (49.2)

(49.3)

дает, что при l₁ ¹ l₂ , что доказывает сформулированное утверждение.

51. Собственное значение l оператора называется вырожденным, если решение уравнения (46) при заданном числе l не является единственным. Если в этом случае имеется конечное число p линейно независимых решений (46), , a = 1, …, p, соответствующих одному и тому же собственному значению l, то число p называется кратностью вырождения собственного значения l. Любая линейная комбинация этих векторов

, (50)

где по повторяющемуся сверху и снизу индексу производится суммирование от 1 до p, также будет собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению l.

52. Если при некотором собственном значении l решение уравнения (46) единственно, то говорят, что это собственное значение невырождено.

53. Согласно утверждению, доказанному в п. 51, собственные векторы, отвечающие различным невырожденным собственным значениям эрмитового оператора, ортогональны между собой. Любой из собственных векторов, соответствующих вырожденному собственному значению, ортогонален собственному вектору, который соответствует невырожденному собственному значению. Собственные векторы , a = 1, …, p, соответствующие одному и тому же собственному значению l, как видно из (49.3), могут быть не ортогональны между собою.

54. Покажем, что в случае конечного числа p собственных векторов состояния существует бесконечное число способов построения линейных комбинаций (50) векторов , приводящих к ортогонализации системы линейно независимых собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению l.

Рассмотрим p линейных комбинаций вида (50), ортогональных друг к другу:

(51)

Для соответствующих бра-векторов по правилам (6) будем иметь:

. (51¢)

Потребуем, чтобы векторы с различными номерами i и j были ортогональны друг к другу:

(52)

Тогда подстановка (51) и (51¢) в (52) приведет к условиям вида

(53)

В системе (53) содержится p (p – 1) вещественных условий для p ² неизвестных комплексных чисел c _a ⁱ. Поэтому оставшиеся из них p комплексных чисел будут задаваться произвольно, с единственным лишь ограничением, что определитель матрицы c _a ⁱ должен быть отличен от нуля: det(c _a ⁱ) ¹ 0.

Одним из наиболее распространенных в литературе способов ортогонализации векторов состояния, отвечающих одному и тому же собственному значению, является метод Грамма – Шмидта. Он применим лишь в случае, когда скалярные произведения конечны. Его суть заключается в следующем.

Рассмотрим сначала систему двух неортогональных собственных векторов и . Построим из этих векторов пару новых векторов

.

Потребуем, чтобы векторы и были ортогональны:

.

Так как состояния и не ортогональны, то ¹ 0, и для коэффициентов будем иметь:

.

При кратности вырождения p > 2 рассматривается следующий шаг: строится вектор состояния

,

в котором коэффициенты и отыскиваются из условий ортогональности этого вектора векторам и . Продолжая построение таким образом, можно получить систему конечного числа p ортогональных собственных векторов состояния.

55. Если множество собственных значений оператора является конечным или счетным, то говорят, что оператор имеет дискретный спектр. В этом случае собственные значения и собственные функции оператора можно нумеровать натуральным (целым или рациональным) числом. Будем, как правило, обозначать номера состояний буквами латинского алфавита. Тогда записям (43), (44) и (46) можно придать следующий вид:

, (54)

, (55)

где собственные функции y(m, q) = y _m (q) и, соответственно, собственные векторы отвечают собственному значению l _m.

56. Если собственное значение l оператора пробегает непрерывный ряд значений в некоторой области комплексной плоскости, то говорят, что оператор имеет непрерывный спектр. Часто оператор может иметь как дискретную, так и непрерывную часть спектра.

57. Понятие о спектре оператора достаточно строго определено только для т.н. ограниченных операторов.

Оператор называется ограниченным, если существует такое конечное число M, что для любой функции y из области определения оператора выполняется условие

.

Наименьшее из чисел M, удовлетворяющее данному условию при любых y, называется нормой оператора и обозначается . Можно показать, что норма оператора удовлетворяет условиям, аналогичным условиям (3) для нормы функции.

Пусть – l-оператор оператора . Значения параметра l, при которых оператор , обратный к l-оператору оператора существует, определен всюду в области определения оператора и ограничен, называются регулярными точками оператора [1]. Все остальные точки комплексной плоскости l образуют множество, называемое спектром оператора .

В этих точках:

1) оператор не существует (дискретная часть спектра), либо

2) оператор существует, но не определен всюду в области определения оператора , или неограничен (непрерывная часть спектра).

Строго говоря, задача о нахождении собственных векторов и собственных значений оператора корректно формулируется в виде (45), или (46) лишь для дискретной части спектра оператора (если таковая существует). В случае непрерывной части спектра оператора может оказаться, что решения задачи (45) представляют собой функции, норма которых бесконечна, и поэтому оператор может быть не определен всюду в области определения оператора , либо неограничен. Однако и в этом случае мы будем говорить, что уравнение (45), или (46) является задачей на собственные значения и собственные функции, норма которых, хотя и может быть бесконечной, но отлична от нуля.

Согласно доказанному в п. 49 свойству собственных чисел эрмитового оператора, его спектр лежит на действительной оси в комплексной плоскости чисел l. Все остальные точки комплексной плоскости чисел l являются регулярными точками эрмитового оператора.

В соответствии с доказанным в п. 50 спектр унитарного оператора лежит на единичном круге в комплексной плоскости чисел l. Все остальные точки комплексной плоскости чисел l внутри и вне единичного круга являются регулярными точками унитарного оператора.

58. Если слева подействовать невырожденным оператором на равенство (46), то следующая цепочка рассуждений

,

показывает, что вектор состояния является собственным вектором оператора , отвечающим тому же собственному значению l, что и собственный вектор исходного оператора . Однако, в общем случае нельзя утверждать, что подобные операторы имеют одинаковый спектр. Для того, чтобы спектры подобных операторов совпадали, необходимо и достаточно, чтобы для обоих операторов условия 1) и 2) выполнялись на одном и том же множестве значений l.

Согласно п. 44, унитарные преобразования, являющиеся частным случаем преобразований подобия, сохраняют эрмитовость оператора и норму волновой функции. Следовательно, условия, при которых l-операторы операторов и оказываются ограниченными, одинаковы для обоих операторов. Значит, при унитарных преобразованиях множество собственных значений оператора остается неизменным.

 

Учебные вопросы:

 

1. Сформулируйте задачу на собственные значения и собственные функции (векторы состояния) линейного оператора. Однозначно ли решение этой задачи?

2. Какой вид имеют собственные векторы и собственные числа оператора, обратного данному?

3. Покажите, что собственные значения эрмитовых операторов вещественны.

4. Какой общий вид имеют собственные значения унитарных операторов?

5. Покажите, что собственные функции (вектора состояния) ортогональны, если соответствующие им собственные числа различны.

6. Какие собственные значения оператора называются вырожденными? Что такое кратность вырождения собственного значения?

7. Покажите, что в случае конечного значения кратности вырождения собственного числа для него всегда можно подобрать ортогональные линейные комбинации отвечающих ему собственных функций (векторов состояния).

8. Что называется спектром оператора?

9. Как определяется дискретный спектр оператора?

10. Какие операторы называются ограниченными?

11. Как определяется непрерывный спектр оператора?

12. Совокупности собственных значений операторов, подобных друг другу, на первый взгляд, должны совпадать. Почему же все-таки в общем случае нельзя утверждать, что спектры подобных операторов совпадают? При каком виде преобразований подобия они будут совпадать?