Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Аксиомы статики




102. Если – некоторый многочлен степени n с, вообще говоря, комплексными коэффициентами, то для некоторого линейного оператора выражение

(113)

представляет собой оператор, называемый многочленом от оператора. Если многочлен P(z) имеет вещественные коэффициенты, а оператор эрмитов, то многочлен от оператора (113) также будет эрмитовым оператором.

Собственные значения многочлена от оператора являются соответствующими многочленами от собственных значений оператора.

Многочлен P(z) называется аннулирующим многочленом оператора , если при подстановке в него оператора он обращается в нулевой оператор. Аннулирующий многочлен оператора , имеющий минимальную степень среди всех аннулирующих многочленов этого оператора, называется минимальным многочленом. Аннулирующий многочлен оператора, имеющий максимальную степень среди его аннулирующих многочленов, называется характеристическим многочленом оператора. В любом аннулирующем многочлене без нарушения общности можно считать a0 = 1. Т.к. степень минимального многочлена конечна, то оператор, имеющий хотя бы один аннулирующий многочлен, назовем конечномерным оператором.

Характеристический многочлен конечномерного оператора равен определителю его l-оператора.

103. Если в некоторой области D комплексной плоскости функция f(z) может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда

, (114)

где ak – комплексные коэффициенты, то формальная подстановка в (114) некоторого оператора даст выражение

, (115)

смысл которого зависит от свойств оператора . Если на множестве векторов состояния любые матричные элементы являются числами, лежащими в области D, то представление (104) имеет следующий смысл: числовые ряды

, (115¢)

сходятся в области значений для любых и . В этом случае будем считать, что функция от оператора определена в виде разложения (115).

По определению, в разложении (115) считается, что для любого оператора . Это предположение не противоречит (115¢).

Если коэффициенты разложения ak в (114) вещественны, то функция от эрмитового оператора будет эрмитовым оператором (докажите!).

104. Если оператор является конечномерным, то, по определению, существует минимальный многочлен jM(z) этого оператора

, (116)

где натуральное число p является степенью этого многочлена. Подстановка оператора в (105) дает операторное уравнение

, (117)

с помощью которого степень оператора можно выразить через его более низкие степени. Тогда, используя (117), ряд (115) можно свести к операторному многочлену вида (113) степени n = p – 1. Таким образом, любая функция от конечномерного оператора, имеющего минимальный многочлен степени p, представимая в виде сходящегося степенного ряда (114) при выполнении условий (115¢) может быть представлена как некоторый операторный многочлен (113) степени n = p – 1.

105. Экспонента от оператора определяется с помощью ряда

(118)

для любого оператора , так как функция

(119)

сходится абсолютно и равномерно во всей комплексной плоскости чисел z. Поэтому в этом случае условия (115¢) автоматически выполняются.

106. Для произвольных операторов и

. (120)

Равенство выполняется только тогда, когда операторы и коммутируют.

107. Любой обратимый оператор может быть представлен в виде экспоненты от некоторого оператора (107), при этом обратный оператор определяется рядом

, (121)

так как

.

108. Рассмотрим непрерывное семейство операторов , получаемое из оператора посредством преобразования подобия

,

где x – параметр, а – некоторый оператор. Производные этого оператора по параметру x ведут себя следующим образом:

.

Рассматривая разложение в ряд Маклорена по степеням x

при x = 1 можно получить

(122)

Это соотношение может быть использовано для вычисления оператора, подобного оператору . В частности, если его использование становится особенно простым, когда коммутатор перестановочен с оператором :

. (123)

Это, в частности, имеет место в случае, когда коммутатор является c-числом (см. п. 11.3). Тогда все коммутаторы , и т.д. обращаются в нуль.

109. Последнее замечание может быть использовано для нахождения экспоненты от суммы операторов и в случае, когда их коммутатор перестановочен с оператором и с оператором . Для этого представим оператор в виде

, (124)

где – некоторый оператор. Чтобы его найти, продифференцируем обе части (124) по x и слева подставим вместо правую часть (124). Получим

откуда вытекает следующее дифференциальное уравнение для оператора :

. (125)

Если коммутатор перестановочен с оператором (ср. с (123)), то в соответствии с (122)

. (126)

Подставляя (126) в (125), перепишем дифференциальное уравнение для оператора в следующем виде:

. (127)

Так как коммутатор перестановочен и с оператором , то решение (127) представится так:

.

Таким образом, если коммутатор операторов и перестановочен как с оператором , так и с оператором , то

. (128)

Аналогично можно показать, что , т.е. роли операторов в правой части (128), как и в левой части, равноправны. Экспоненциальный множитель при этом перестановочен с обеими экспонентами и , и может быть записан в любом месте произведения, стоящего в правой части (128). В частности, если , то сводится просто к умножению на функцию .

В частности, при x = 1 из (128) можно получить правило вычисления экспоненты от суммы любых операторов, если их коммутатор перестановочен с каждым из них:

. (129)

Упражнение. Покажите, что, если коммутатор операторов и перестановочен как с оператором , так и с оператором , то обращаются в нуль и коммутаторы , .

110. Любой унитарный оператор может быть представлен в виде

, (130)

где – некоторый эрмитов оператор. Эрмитовость оператора обеспечивает унитарность оператора (130):

.

111. Производная операторной функции по своему аргументу определяется следующим образом:

. (131)

В частности, производная по от

.

Учебные вопросы и задания:

1. Дайте определение среднего значения оператора.

2. Сформулируйте понятие среднеквадратичного значения оператора и среднеквадратичного отклонения оператора от его среднего значения (неопределенности)?

3. Какие операторы называются неотрицательно определенными?

4. В каких случаях может быть введено условие нормировки волновой функции (вектора состояния)?

5. Дайте определение волнового пакета собственных функций эрмитового оператора.

6. Покажите, что волновые пакеты с непересекающимися областями определения ортогональны.

7. Покажите, что волновые пакеты, имеющие перекрывающиеся области определения, нормируемы на 1.

8. Сформулируйте среднее значение оператора на нормированном волновом пакете.

9. Покажите, что среднее значение оператора на нормированном волновом пакете, составленном из собственных функций этого оператора, равно собственному значению этого оператора, являющегося серединой области определения волнового пакета.

10. Выведите соотношение между средними квадратичными значениями двух эрмитовых операторов в некотором состоянии и их коммутатора в этом же состоянии. Как из этого соотношения получить соотношение неопределенностей?

11. Как определяется зависимость оператора от параметра? Как можно дифференцировать в этом случае операторы по параметру?

12. Дайте определение многочлена от оператора. При каких условиях многочлен от эрмитового оператора будет эрмитовым оператором?

13. Как связаны собственные значения многочлена от оператора и самого оператора?

14. Какой многочлен называется аннулирующим многочленом оператора?

15. Каким образом можно представить произвольную функцию от оператора, и в каких случаях это представление возможно?

16. Покажите, что, если определена некоторая функция от конечномерного оператора, то она сводится к некоторому многочлену степени p – 1, где p – степень минимального многочлена оператора.

17. Как определить экспоненту от оператора?

18. Покажите, что экспонента от оператора является обратимым оператором.

19. Выведите свойство .

20. Покажите, что, если для двух операторов и справедливы соотношения: , , то .

21. Покажите, что любой унитарный оператор может быть представлен в виде , где – некоторый эрмитов оператор.

22. Каким образом можно сформулировать определение понятия производной функции от оператора по этому оператору?

 

 


Литература

 

1. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика с задачами. М.: Физматлит, УНЦ довузовского образования МГУ, 2001.

2. Боум А. Квантовая механика. Основы и приложения. М.: Мир, 1990.


[1] Оператор называется резольвентой оператора . Термин «l-оператор» является аналогом понятия l-матрицы в теории матриц.

[2] С соответствующими изменениями (лат.)

Основные понятия статики.

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не де­формируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано.

Исследованием движения нетвердых тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление мате­риалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.).

Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.

Основные понятия:

1. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Сила является величиной векторной.

Ее действие на тело опре­деляется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направле­нием силы, 3) точкой приложения силы (рис.9).

Рис.9

 

Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

В тексте вектор силы обозначается ла­тинскими буквами , , и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее чис­ленная величина - модуль.

Рис. 1.2.
Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перене­сти по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.

2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил.

3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, на­зывается свободным.

4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состоя­ния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или экви­валентной нулю.

6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело.

7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противополож­ная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, назы­вается уравновешивающей силой.

8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки дан­ного объема или данной части поверхности тела, называются распре­деленными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, пред­ставляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равно­действующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равно­действующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

Аксиомы статики.

Все теоремы и уравнения статики выво­дятся из нескольких исходных положений, принимаемых без матема­тических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).

 

Рис.10

 

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равнове­сии не может.

Аксиома 2. Действие данной си­стемы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравнове­шенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсо­лютно твердое тело не изменится, если перенести точку при­ложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Рис.11

 

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что = , = . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и со­гласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В резуль­тате на тело. Будет действовать только одна сила , равная , но приложен­ная в точке В.

Таким образом, вектор, изобра­жающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю па­раллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется геометрической суммой векторов и : = + .

Рис.12

Величина равнодействующей

Рис. 1.3.

Конечно, Такое равен­ство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной пря­мой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействую­щую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и прило­женную в той же точке.

Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но проти­воположное по направлению противодействие.

Закон о равенстве действия и противодей­ствия является одним из основных законов ме­ханики. Из него следует, что если тело А дей­ствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой = (рис. 13). Однако силы и не образуют урав­новешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.

Рис.13

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изме­няемого (деформируемого) тела, находящегося под действием дан­ной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сва­ренными друг с другом и т. д.

 







Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 917. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.022 сек.) русская версия | украинская версия