Решение. В задании 4n=5, ибо переставляются местами всевозможными способами n=5 штук различных цифр: 1,3,5,7,9

В задании 4 n =5, ибо переставляются местами всевозможными способами n =5 штук различных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок без повторений из n =5 штук различных элементов.

Согласно теории, искомое число равно Р₅ = 5! = 120 различных 5– значных телефонных номеров.

Ответ: 120 различных 5– значных телефонных номеров.

 

Задание 5 (на число перестановок с повторениями.)

Сколько различных n – значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, переставляя следующий набор n штук цифр: 1, 1, 1, 3, 3, 5?

ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК С ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Перестановки с повторениями

Перестановками с повторениями из т элементов n различных типов, среди которых k ₁одинаковых элементов 1-го типа, k ₂одинаковых элементов 2-го типа,..., k _nодинаковых элементов п -го типа (k₁ + k₂ +... + k_п = m), называются их последовательности, отличающиеся только порядком входящих в них элементов.

Пример. Перестановки из 3 элементов, среди которых 2 одинаковых элемента типа а и 1 элемент типа b: ааb, аbа, bаа.

Число перестановок из т элементов, среди которых k ₁- одинаковых элементов 1-го типа, k₂ одинаковых элементов2-го типа,..., k_п- одинаковых элементов n -го типа [обозначается Р (m; k₁, k₂,..., k_п) ] равно:

Р (m; k₁, k₂,..., k_п) = т! / (k₁! k₂!... k_п!).

Для примера перестановок с повторениями из 3 элементов, среди которых 2 одинаковых типа а и 1 элемент типа b, имеем Р (m=3; k₁=2, k₂=1) = 3! / (2! 1!).

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.

В задание 5 m =6, ибо переставляются местами всевозможными способами m =6 штук различных цифр: 1, 1, 1, 3, 3, 5, среди которых есть повторяющиеся (одинаковые). При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок с повторениями из m =6 штук элементов, среди которых k ₁=3 одинаковых элементов 1-го типа (цифра 1), k₂=2 одинаковых элементов2-го типа (цифра 3), k₃ =1одинаковых элементов 3 -го типа (цифра 5), равно Р (m; k₁, k₂,..., k_п) = т! / (k₁! k₂!... k_п!), Р (6; 3, 2, 1) = 6! /(3! 2! 1!)= =60.

Ответ: Р (6; 3, 2, 1) = 60, т. е 60 различных вариантов 6– значных телефонных номеров (6-значных чисел), содержащих цифру 1 трижды, 3 —дважды и 5 — один раз.

 

Задание 6 ( на число неупорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей ).

Сколько всего вариантов можно получить, разбивая группу из пяти человек (из пяти солдат) на три подгруппы — две подгруппы по два человека (по два автоматчики) и одна подгруппа из одного человека (из одного пулеметчика)?

 

НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Неупорядоченное разбиениеn -элементного множества X — это любое семейство {X1, X2, …, Xk}, где 1≤ k≤ п; X1, X2, …, Xk - непустые попарно непересекающиеся подмножества множества X, объединение которых равноX.

Называем такое разбиение неупорядоченным, так как семейство — это неупорядоченная совокупность.

Пример. Для множества {а, b, с} неупорядоченное разбиение это, например, {{а}, {b, с}}. Причем {{а}, {b, с}}={{b, с}, {а}}.

Для множества с п элементами обозначим через D (n; k ₁, k ₂, …, k _n) число всех таких неупорядоченных разбиений, в которых есть k ₁ подмножеств с одним элементом, k ₂ подмножеств с двумя элементами и т.д., где k ₁≥ 0, k ₂≥ 0, …, k _n≥ 0; k ₁+2 k ₂+…+ n k _n= n.

Имеем

 

 

КОНЕЦ ТЕОРИИ.