Решение. В задании 4n=5, ибо переставляются местами всевозможными способами n=5 штук различных цифр: 1,3,5,7,9В задании 4 n =5, ибо переставляются местами всевозможными способами n =5 штук различных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок без повторений из n =5 штук различных элементов. Согласно теории, искомое число равно Р5 = 5! = 120 различных 5– значных телефонных номеров. Ответ: 120 различных 5– значных телефонных номеров.
Задание 5 (на число перестановок с повторениями.) Сколько различных n – значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, переставляя следующий набор n штук цифр: 1, 1, 1, 3, 3, 5? ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК С ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Перестановки с повторениями Перестановками с повторениями из т элементов n различных типов, среди которых k 1одинаковых элементов 1-го типа, k 2одинаковых элементов 2-го типа,..., k nодинаковых элементов п -го типа (k1 + k2 +... + kп = m), называются их последовательности, отличающиеся только порядком входящих в них элементов. Пример. Перестановки из 3 элементов, среди которых 2 одинаковых элемента типа а и 1 элемент типа b: ааb, аbа, bаа. Число перестановок из т элементов, среди которых k 1- одинаковых элементов 1-го типа, k2 одинаковых элементов2-го типа,..., kп- одинаковых элементов n -го типа [обозначается Р (m; k1, k2,..., kп) ] равно: Р (m; k1, k2,..., kп) = т! / (k1! k2!... kп!). Для примера перестановок с повторениями из 3 элементов, среди которых 2 одинаковых типа а и 1 элемент типа b, имеем Р (m=3; k1=2, k2=1) = 3! / (2! 1!). КОНЕЦ ТЕОРИИ. Решение. В задание 5 m =6, ибо переставляются местами всевозможными способами m =6 штук различных цифр: 1, 1, 1, 3, 3, 5, среди которых есть повторяющиеся (одинаковые). При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок с повторениями из m =6 штук элементов, среди которых k 1=3 одинаковых элементов 1-го типа (цифра 1), k2=2 одинаковых элементов2-го типа (цифра 3), k3 =1одинаковых элементов 3 -го типа (цифра 5), равно Р (m; k1, k2,..., kп) = т! / (k1! k2!... kп!), Р (6; 3, 2, 1) = 6! /(3! 2! 1!)= =60. Ответ: Р (6; 3, 2, 1) = 60, т. е 60 различных вариантов 6– значных телефонных номеров (6-значных чисел), содержащих цифру 1 трижды, 3 —дважды и 5 — один раз.
Задание 6 ( на число неупорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей ). Сколько всего вариантов можно получить, разбивая группу из пяти человек (из пяти солдат) на три подгруппы — две подгруппы по два человека (по два автоматчики) и одна подгруппа из одного человека (из одного пулеметчика)?
НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Неупорядоченное разбиениеn -элементного множества X — это любое семейство {X1, X2, …, Xk}, где 1≤ k≤ п; X1, X2, …, Xk - непустые попарно непересекающиеся подмножества множества X, объединение которых равноX. Называем такое разбиение неупорядоченным, так как семейство — это неупорядоченная совокупность. Пример. Для множества {а, b, с} неупорядоченное разбиение это, например, {{а}, {b, с}}. Причем {{а}, {b, с}}={{b, с}, {а}}. Для множества с п элементами обозначим через D (n; k 1, k 2, …, k n) число всех таких неупорядоченных разбиений, в которых есть k 1 подмножеств с одним элементом, k 2 подмножеств с двумя элементами и т.д., где k 1≥ 0, k 2≥ 0, …, k n≥ 0; k 1+2 k 2+…+ n k n= n.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.
|
Имеем
