Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей

Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня.

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. Н₀: .

Для проверки гипотезы Н₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов . Для оценки дисперсий используются исправленные выборочные дисперсии .

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия – отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Далее необходимо найти критическую точку F_кр(a; k ₁; k ₂), где a – уровень значимости,
k ₁= n ₁ – 1, k ₂= n ₂ – 1(k ₁ и k ₂ – числа степеней свободы).

Если F_набл < F_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе ищут критическую точку F_кр(a/2; k ₁; k ₂).

Если F_набл < F_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают.

F_кр ищут по таблицам распределения Фишера-Снедекора (приложение 7).

Примеры

94. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

х: 9, 6; 10; 9, 8; 10, 2; 10, 6

у: 10, 4; 9, 7; 10; 10, 3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений при уровне значимости a=0, 1.

Решение. Будем судить о точности методов по величинам дисперсий.

F_кр = F(0, 05; 4; 3)=9, 12 (приложение 7);

F_набл < F_кр, следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу.