Критерий Пирсона

χ ² – критерий Пирсона заключается в сравнивании эмпирических (наблюдаемых) и теоретических частот.

Методика вычисления теоретических частот нормального распределения:

1. Весь интервал наблюдаемых значений Х делят на l интервалов одинаковой длины. Находят середины интервалов по формуле . В качестве частоты принимают число вариант, которое попало в интервал.

2. Вычисляют выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение s.

3. Вычисляют теоретические вероятности попадания в интервал () по формуле

где Ф(х) – функция Лапласа,

4. Находят искомые теоретические частоты по формуле где n – объем выборки.

При уровне значимости a требуется проверить гипотезу Н₀: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

(5)

Находят число степеней свободы по правилу k = s –1– r, где s – число групп (интервалов), r – число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагается, что распределение нормальное, оцениваемых параметров 2 и, поэтому r =2, а число степеней свободы k = s – 3.

По заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k находят критическую точку (приложение 8).

Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Объем выборки должен быть достаточно велик (не менее 50). Каждая группа (интервал) должен содержать не менее 5 вариант.

Замечание 2. Для контроля вычислений формулу (5) преобразуют к виду

Примеры

95. Полученные в результате опыта значения случайной величины Х занесены в таблицу

интервал	9 - 12	12 - 15	15 - 18	18 - 21	21 - 24	24 - 27
mi

Проверить гипотезу о согласованности опытных данных с законом нормального распределения при уровне значимости α =0, 05.

Решение. 1. Для вычисления теоретических частот найдем выборочную среднюю , дисперсию и среднее квадратическое отклонение s.

2. Рассчитаем вероятности и теоретические частоты

3. Составим расчетную таблицу

i	mi
					1, 231		22, 231
					1, 042		35, 042
			-6		1, 286		17, 286
			-3		0, 429		15, 429
			-1		0, 1		8, 1
					0, 25		6, 25
∑							104, 338

(проверка: 104, 338 – 100=4, 338);

k =6 – 3 =3;

(приложение 8);

4, 338 < 7, 89 (), следовательно, гипотеза Н₀ не отвергается, т.е. совокупность распределена нормально.

96. При 120 подбрасываниях игральной кости единица выпала 25 раз, двойка 19 раз, тройка 15 раз, четверка 22 раза, пятерка 15 раз, шестерка 21 раз. Согласуется ли это с тем, что игральная кость правильной формы?

Решение. Для решения данной задачи следует воспользоваться критерием согласия Пирсона. Генеральное распределение – дискретное. Относительные частоты известны и равны:

, , , , , , , ,

.

Вычислим значение статистики χ ²:

=

Находим критическое значение для числа степеней свободы k = 6–0–1 = 5; .

Так как 4< 11, 1, следовательно, гипотеза о симметричности игральной кости согласуется с данными опыта на уровне значимости 0, 05.