Сравнение двух генеральных средних

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально и их дисперсии известны и равны S_x и S_y. По независимым выборкам объемов n и m найдены выборочные средние и Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: М(Х)=М(У) о равенстве математических ожиданий рассматриваемых генеральных совокупностей.

Обычно выборочные средние бывают различны. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незначимо различаются выборочные средние. Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, то выборочные средние различаются незначимо. Если нулевая гипотеза будет отвергнута, то различие выборочных средних значимо и не может объясняться случайными причинами, а объясняется тем, что сами математические ожидания различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы берут случайную величину

Тогда

1. Если , где определяется по таблице Стьюдента, то принимаем гипотезу о том, что М(Х)=М(Y) по сравнению с альтернативной гипотезой М(Х)≠ М(Y). И отвергаем эту гипотезу, если неравенство не выполнено.

2. Если оказалось, , можно проверять гипотезу о том, что М(Х)=М(Y), когда альтернативной гипотезой является М(Х)< М(Y). Если выполняется неравенство , то основная гипотеза (М(Х)=М(Y)) неверна и принимается гипотеза, что М(Х)< М(Y).

3. Можно проверять гипотезу о том, что М(Х)=М(Y), когда альтернативной является гипотеза М(Х)> М(Y). Если выполняется неравенство , то принимается гипотеза М(Х)> М(Y).

Примеры

93. По двум выборкам объемов n =30 и m =20, извлеченным из генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =97 и =94. Генеральные дисперсии известны =120 и =100. При уровне значимости a=0, 05 проверить нулевую гипотезу Н₀: М(Х)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: М(Х)≠ М(Y).

Решение. =

(приложение 2).

Так как , следовательно нет оснований отвергать нулевую гипотезу Н₀: М(Х)=М(Y), то есть выборочные средние различаются незначимо.