Глава 7. Корреляционный и регрессионный анализ. Выявление связи между величинами

Корреляционный метод позволяет получить числовые показатели, характеризующие степень (тесноту) связи между двумя или несколькими признаками.

Для характеристики количественной связи между явлениями и отдельными признаками следует различать функциональную (полную) и статистическую (неполную) связь между признаками.

Статистической называют зависимость случайной величины Y от X, при которой изменение одной из величин (X) влечет изменение другой (Y).

Возникновение понятия статистической связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда контролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что изменение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками.

Корреляционная зависимость между двумя переменными величинами – это зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Сравнивая различные виды зависимости между Х и Y, можно сказать, что с изменением значений переменной Х при функциональной зависимости однозначно изменяется определенное значение переменной Y, при корреляционной – определенное среднее значение Y, при статистической – определенное распределение переменной Y.

Статистические связи между переменными можно изучать методами корреляционного и регрессионного анализа. Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между переменными. Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты.

Установление форм связи и подбор математического уравнения в большинстве случаев решается на основе логического анализа предыдущих исследований, данных статистических группировок, графического метода.

Линейная парная связь выражается уравнением прямой регрессии:

где а – угловой коэффициент прямой регрессии Y на Х, называемый выборочным коэффициентом регрессии.

При малых выборках данные не группируются. Параметры а и b находятся по методу наименьших квадратов из нормальной системы уравнений

(7.1)

где n – число наблюдаемых значений пар взаимосвязанных величин (x_i; y_i).

Выборочные уравнения прямой линии регрессии имеют вид:

- уравнение прямой регрессии Y на Х; (7.2)

- уравнение прямой регрессии Х на Y. (7.3)

Выборочный линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между Х и Y. Коэффициент корреляции находится по формуле:

(8)

где и - выборочные средние случайных величин Х и Y;

- среднее значение произведений

и - выборочные средние квадратические отклонения,

Свойства коэффициента корреляции :

1) Если =0, то Х и Y не связаны корреляционной зависимостью;

2) Если то Х и Y связаны функциональной зависимостью;

3) Если коэффициент корреляции положителен, то связь прямая; если коэффициент корреляции отрицателен, то связь обратная;

4) Связь тем теснее, чем ближе к единице:

связь практически отсутствует	связь слабая	связь умеренная	связь высокая

Примеры

100. Найти коэффициент корреляции между производительностью труда Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью труда Х (кВт) (в расчете на одного работающего) для 14 предприятий региона по следующим данным:

xi	2, 8	2, 2	3, 0	3, 5	3, 2	3, 7	4, 0	4, 8	6, 0	5, 4	5, 2	5, 4	6, 0	9, 0
yi	6, 7	6, 9	7, 2	7, 3	8, 4	8, 8	9, 1	9, 8	10, 6	10, 7	11, 1	11, 8	12, 1	12, 4

Найти коэффициент корреляции и построить уравнение регрессии.

Решение. Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся формулой (8) и сведем все вычисления в расчетную таблицу:

№ п/п
	2, 8	6, 7	7, 84	44, 89	18, 76	7, 686
	2, 2	6, 9	4, 84	47, 61	15, 18	7, 074
	3, 0	7, 2		51, 84	21, 6	7, 89
	3, 5	7, 3	12, 25	53, 29	25, 55	8, 4
	3, 2	8, 4	10, 24	70, 56	26, 88	8, 094
	3, 7	8, 8	13, 64	77, 44	32, 56	8, 604
	4, 0	9, 1		82, 81	36, 4	8, 91
	4, 8	9, 8	23, 04	96, 04	47, 04	9, 726
	6, 0	10, 6		112, 36	63, 6	10, 95
	5, 4	10, 7	29, 16	114, 49	57, 78	10, 338
	5, 2	11, 1	27, 04	123, 21	57, 72	10, 134
	5, 4	11, 8	29, 16	139, 24	63, 72	10, 338
	6, 0	12, 1		146, 41	72, 6	10, 95
	9, 0	12, 4		153, 76	111, 6	14, 01
	64, 2	132, 9	335, 26	1313, 95	650, 99	133, 104
Средние значения	4, 59	9, 49	23, 95	93, 85	46, 5

= = =

= = =

Связь сильная, прямая.

Для получения уравнения регрессии составим и решим систему уравнений:

101. Распределение 100 предприятий по объему выпускаемой продукции Х (в тыс. руб.) и по себестоимости единицы продукции Y (тыс. руб.) дано в корреляционной таблице.

y x	3, 5	4, 0	4, 5	5, 0	5, 5	6, 0	6, 5	∑
4, 1	-	-	-	-	-		-
4, 3	-	-	-
4, 5	-	-					-
4, 7	-	-					-
4, 9	-					-	-
5, 1	-					-	-
5, 3				-	-	-	-
5, 5		-	-	-	-	-	-
∑

Предполагая, что между переменными Х и Y существует корреляционная зависимость, определить выборочный коэффициент корреляции; найти уравнение прямой регрессии Y на Х; сделать вывод о тесноте и направлении связи; оценить среднюю себестоимость продукции (тыс. руб.) при объеме выпускаемой продукции в 5, 0 тыс. руб.

Решение. 1. Найдем средние значения , и вычислим

Так как коэффициент корреляции отрицателен, то связь между величинами Х и Y обратная. Теснота связи высокая.

2. Для получения уравнения прямой линии регрессии Y на Х воспользуемся уравнением

3. Оценим среднюю себестоимость продукции при объеме выпускаемой продукции в 5, 0 тыс.руб.