Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ




Литература: [1] гл. 1, §2, §3, §4

 

1. ВЫСКАЗЫВАНИЯИ ПРЕДИКАТЫ.__________________________________________________________________

Определение 1. Высказыванием называют любое повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

_____________________________________________________________________________________________

Современная математическая логика включает в себя логику высказываний и логику предикатов.

Высказывание принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. Если высказывание А истинно, то записывают А – «И», если высказывание А ложно, то записывают А – «Л».

Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новое высказывание, используя логические связки «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Такие высказывания называют составными, а входящие в них высказывания А и В – элементарными высказываниями. Логические связки (или логические операции) принято обозначать соответственно специальными символами (Ù, Ú, ®, «, –).

Составные высказывания, образованные из высказываний А и В, определяются следующими таблицами истинностей.

Состав­ное высказывание     Читается     Название высказывания   Таблица истинности
  АÙВ       А и В         Конъюнкция высказываний   А В АÙВ
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л
аÚв   А или В       Дизъюнкция высказываний   А В АÚВ
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л
    А®В         Если А, то В       Импликация высказываний   А В А®В
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И
    А «В     А тогда и только тогда, когда В         Эквиваленция высказываний   А В А«В
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
          Неверно, что А     Отрицание высказывания А   А
И Л
Л И

 

Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут А = В.

Свойства составных высказываний:

 

Для конъюнкции   Названия свойства Для дизъюнкции
А ÙВ = ВÙА Коммутативность АÚВ = ВÚА
А Ù(ВÙС) = (А ÙВ) ÙС = = А ÙВÙС   Ассоциативность АÚ(ВÚС) = (АÚВ)ÚС = = АÚВÚС

 

Есть свойства, связывающие эти две операции:

(АÚВ)ÙС = (АÙС)Ú(ВÙС) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

(АÙВ)Ú С = (АÚ С) Ù (ВÚС) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Для отрицания высказываний можно записать равносильности:

1. =А – любое высказывание А равносильно высказыванию

2. А Ù = Л, в этом случае говорят, что формула А и тождественно ложна.

3. А Ú = И, в этом случае говорят, что формула А или тождественно истинна. Операции конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказываний связаны следующими соотношениями:

.

Эти отношения называют законами де Моргана.

Операция импликации двух высказываний может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции:

А ® В = Ú В.

Для импликации высказываний имеет место закон контрапозиции: А ® В = ®

Все эти свойства доказываются с помощью таблиц истинности.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 545. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия