МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИПоложення точки на площині задаємо комплексним числом (9.15) – модуль комплексного числа, Якщо використати формулу Ейлера: , (9. 16) то Нехай – радіус-вектор матеріальної точки, що обертається по колу з кутовою швидкістю , тоді , де початкова фаза руху. Якщо взяти дійсну частину виразу, то отримаємо рівняння гармонійних коливань вздовж осі : (9.17) Для опису коливань вздовж осі шукаємо уявну частину виразу (9.18) Вирази типу (9.17), (9.18) зручно використовувати для опису коливних та хвильових процесів. Зокрема, вираз: (9.19) є рівнянням гармонійного коливання, а вираз (9.20) є рівнянням плоскої хвилі. Використання комплексних чисел для опису коливних та хвильових процесів дає змогу у ряді задач спростити і скоротити розрахунки. Покажемо це на прикладі вимушених коливань. Виходимо із рівняння руху (7.50) для вимушених коливань, в якому вираз для вимушуючої сили замінимо виразом : (9.21) Розв’язок рівняння для встановлених коливань шукаємо у вигляді , (9.22) де – деяка стаціонарна незалежна від часу амплітуда у вигляді комплексного числа. Підстановка виразу (9.22) у рівняння (9.21) дає наступний результат: . Скоротивши вираз на для отримаємо: (9.23) Перетворимо знаменник у виразі (9.23), використавши формулу Ейлера, до вигляду: , де , тому . Кінцево розв’язок рівняння (9. 21) набуває вигляду: (9.24) З (9.24) видно, що вимушене коливання за фазою відстає від вимушуючої сили на кут . Отриманий результат ідентичний виразу (7.53). [1] Доведемо, що. Згідно з третім законом Ньютона, а тому для доведення записаної вище рівності достатньо показати, що. Запишемо, де –вектор, що з’єднує точки та, тоді: , бо, внаслідок колінеарності векторів та. [2] Дане твердження випливає з того, що кут малий (), а тому і трикутник AOC рівнобедрений з рівними сторонами. [3] Відзначимо, що середні значення функції та за період рівні 1/2:. [4]
[5] Адіабатичний процес – процес, що відбувається без обміну теплом із зовнішнім середовищем. Ідеальних адіабатичних процесів в природі немає. Адіабатичними процесами можуть вважатись лише швидкозмінні процеси (в даному випадку пружні деформації в хвилі). МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
|