Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством где р (х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством если интеграл сходится, или равносильным равенством В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то или Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством . Модой непрерывной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятности р (х) достигает максимума). Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого . Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).
Рис. 8.7
Очевидно, что . Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством . Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством . Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то , . Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам: , , . Математическое ожидание М (Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределения Х относительно М (Х). Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения. Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины. А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания. Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения. Эксцессом случайной величины называется число . Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.
Пример 8.7. Дана функция При каком значении параметра с эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Решение. Для того чтобы р (х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности. Следовательно, откуда . Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям Таким образом, и плотность распределения имеет вид Следовательно, Дисперсия Вначале найдем Теперь
Пример 8.8. Случайная величина Х распределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (рис. 8.8).
1. Написать выражение плотности распределения. 2. Найти функцию распределения F (х). 3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а. 4. Найти характеристики величины Х: М (Х), D (Х), , . Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: и, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид Найдем функцию распределения F (х): если , то если , то если , то Таким образом, Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а определяется по формуле . Найдем математическое ожидание: Следовательно, , . Так как , а , , , то .
Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D (Х), моду М0 (Х) и медиану Ме (Х). Решение. Так как то . Дисперсия Вначале найдем . Следовательно, График плотности вероятности р (х)имеет вид (рис. 8.9) Рис. 8.9 Плотность вероятности р (х)максимальна при х = 2, это означает, что М0 (Х) = 2. Из условия найдем медиану Ме (Х): ; откуда
Пример 8.10. Дана функция Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х. Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков: Тогда
Так как то Следовательно,
Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом: Найти моду, медиану и математическое ожидание Х. Решение. Найдем математическое ожидание Х: . Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М 0(Х) =1. Медиану Ме (Х) найдем из условия . Для этого вначале найдем функцию распределения : если , то если , то если , то Таким образом, Уравнение равносильно уравнению , откуда .
Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ). Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим
Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х. Решение. Так как , то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М 0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления). Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М (Х)= Ме (Х) = 4.
|