Выполнение. Найдем уравнение парной линейной регрессии Y=mX+b по всем наблю­дениям таблицы 24 (т

Найдем уравнение парной линейной регрессии Y = mX + b по всем наблю­дениям таблицы 24 (т. е. не учитывая качественный признак «Пол студента»). Результаты функции ЛИНЕЙН, необходимые для дальнейших расчетов, приведены в таблице 25.

Значение статистики Фишера F =11, 29 больше порога f (0, 05, 1, 10)=4, 96. Таким обра­зом, неравенство (35) справедливо, и уравнение Y =0, 815 X -1, 44 значимо. Следовательно, успеваемость в сессию Y существенно зависит от результатов вступитель­ных экзаменов X.

Исследуем влияние пола студента на успеваемость в сессию. Для этого введем фиктивную переменную Z (равную 1 для мужчин и 0 для женщин) и оценим параметры уравнения регрессии Y = mX + m ₁ Z + b. Результаты функции ЛИНЕЙН для этого уравнения приведены в таблице 25.

Таблица 25. Характеристики уравнений

Уравнение	Оценки коэффициентов		Выборочные СКО	F	k 2	Qe
Y = mX + b	=0, 815	-1, 44	=0, 242	11, 29		13, 46
Y = mX + m 1 Z + b	=0, 743; =0, 466	-1, 17	=0, 276; =0, 763	5, 48		12, 93
Y = mX + m 1(ZX)+ b 1 Z + b	=0, 571 =0, 211 =-0, 952	-0, 048	=0, 676 =0, 749 =5, 10	3, 31		12, 80
Y = mX + m 1(ZX)+ b	=0, 680 =0, 073	-0, 765	=0, 324 =0, 112	5, 53		12, 86

Значение статистики Фишера F =5, 48 больше порога f (0, 05, 2, 9)=4, 26. Таким обра­зом, уравнение Y =0, 743 X -0, 466 Z -1, 17 значимо, и успеваемость в сессию в основном определяется двумя факторами: результатами вступитель­ных экзаменов и полом студента. Далее надо прове­рить значимость каждого из этих факторов. Рассчитаем статистики Стьюдента по формуле (36а):
=0, 743/0, 276=2, 69; 0, 466/0, 763=0, 611.

Сравнивая значения этих статистик с порогом t (0, 05, 9)=2, 26, получаем, что фактор X значим, а фактор Z незначим (см. формулу (37)). Таким образом, ус­певаемость студента в сессию в основном зависит от результатов вступительных экзаменов (и слабо зависит от пола студента). Незначимость переменной Z в рассматри­ваемом уравнении также означает, что пол студента не оказывает значимого влияния на величину сдвига b в уравнении Y = mX + b.

Для оценки влияния пола и на коэффициент, и на сдвиг уравнения Y = mX + b надо проанализировать значимость параметров m ₁ и b ₁ в уравнении (45). В таблицу 24 для работы с уравнением (45) добавим столбец значений ZX. Результаты функции ЛИ­НЕЙН приведены в таблице 25. Значение статистики Фишера F =3, 31 меньше порога f (0, 05, 3, 8)=4, 07, что говорит о незначимости уравнения. Также оказы­ваются незначимыми все коэффициенты уравнения (это предлагается прове­рить самостоятельно). По-видимому, двенадцати наблюдений недостаточно для оценивания четырех параметров уравнения. Поэтому для оценки влияния пола на коэффициент уравнения Y = mX + b проверим значимость коэффициента m ₁ в уравнении Y = mX + m ₁(ZX)+ b; характеристики уравнения представлены в таблице 25. Применяя критерии Фишера и Стьюдента так же, как и для предыдущих уравнений, получим, что уравнение значимо, а коэффициент m ₁ незначим. Отсюда можно сделать вывод, что признак «Пол студента» не влияет на коэффициент уравнения регрессии Y = mX + b.

Так как признак «Пол студента» не влияет ни на коэффициент, ни на сдвиг уравнения линейной регрессии Y = mX + b, то зависимость Y (Х) одинакова для лиц мужского и женского пола.

Этот же вывод можно получить по критерию Г. Чоу (см. §1.3). Если ги­потеза H ₀ верна (пол студента не влияет на зависимость Y (Х)), то справедливо уравнение Y = mX + b, поэтому Q ₀=13, 46, k ₀=10. Если H ₀ неверна, то зависимость Y от X описывается уравнением (45), поэтому Q ₁=12, 80, k ₁=8. Из формулы (46) имеем: D Q =0, 663, из (47): k _D=2. Подставив эти значения в формулу (48), получим F _Чоу=0, 207. Порог для статистики Чоу равен: f (0, 05, 2, 8)=4, 46. Неравенство (49) не справедливо, и гипотеза H ₀ не отклоня­ется.

Заметим, что значение остаточной суммы Q ₁ можно было получить другим способом. Именно, надо разделить наблюдения на две части: в одну часть отнести наблюдения, для которых Z =0 (женщины), а в другую – для которых Z =1 (мужчины). Далее следует рассчитать остаточные суммы для каждой части (Q ₁(Z =0)=2, 19 и Q ₁(Z =1)=10, 61) и просуммировать их (получим Q ₁=12, 80).