ВВЕДЕНИЕ 3 страница. При осциллографических измерениях удобно иметь в виду следующее очевидное равенство (пропорцию) для в радианах:

При осциллографических измерениях удобно иметь в виду следующее очевидное равенство (пропорцию) для в радианах:

 

, (3.5)

отсюда

, (3.6)

 

а знак определять по направлению смещения графика колебания относительно опорного сигнала.

При одном и том же смещении кривых a(t) во времени фазовый сдвиг тем больше, чем меньше период колебаний T и выше частота колебаний .

По определению (3.1) гармоническое колебание - это вечный процесс, простирающийся справа и слева по оси времени до бесконечности. Формула (3.1) справедлива для любых значений времени t без ограничения. Реальный процесс имеет начало и конец. В интервале времени от установления колебаний до выключения источника можно, однако, в большинстве случаев считать процесс с достаточной для практики точностью гармоническим.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какое колебание называется гармоническим, какими функциями времени оно выражается?

2. Какие величины в выражении носят названия - мгновенное значение колебания, амплитуда колебания, начальная фаза, полная фаза, угловая частота?

3. Выразите угловую частоту через циклическую частоту f и через период колебаний T. В каких единицах измеряются:

- круговая частота ;

- циклическая частота f;

- период колабания T;

- начальная () и полная () фазы?

Какова размерность произведения t?

4. В каких единицах измеряются величины a(t) и A_m, если речь идет об электрическом напряжении a(t)=u(t) или токе a(t)=i(t)?

5. Как перейти от гармонического колебания, записанного в синусоидальной форме (3.2) к основной его форме (3.1) так, чтобы при равных t получались одинаковые значения a(t)? Чему при этом следует приравнять величину ?

6. Vаксимум гармонического колебания u(t) смещен относительно начала развертки осцилографа (рис.3.3) на вправо. Чему равна начальная фаза колебания (напишите выражение для нее в общем виде)? Какой знак имеет начальная фаза колебания на рис.3.3?

7. Чему равен угол сдвига фаз у колебаний, осцилограммы которых приведены на рис. 3.4а? Какая из двух векторных диаграмм (рис. 3.4б или рис. 3.4в) соответствует осцилограммам 1 и 2 на рис. 3.4а?

 

Рис. 3.4

 

8. Два колебания (рис. 3.5) a₁(t) и a₂(t) выражаются соответственно косинусоидальной и синусоидальной функциями времени

Какое из колебаний отстает от другого по фазе, на какой угол? Изобразите их векторную диаграмму.

9. Чему равна начальная фаза колебания (рис.3.6) и отношение , если известно, что при t=0 напряжение u(0) отрицательно и равно по абсолютному значению 0, 5 U_m?

 

 

10. У какого из двух гармонических колебаний разной частоты и (T₂=T₁/2) ближайший максимум напряжения (рис.3.7) дальше отстает от начала координат (интервал больше) по сравнению

Рис. 3.6 с другим при одинаковых

начальных фазах колебаний ? Объясните, почему Вы так думаете.

 

 

Рис. 3.7

 

ЗАДАЧИ

 

3.1. (2 балла). Напряжение и ток в некоторой электрической цепи определяются соответственно двумя гармоническими функциями времени:

Определите значения напряжения и тока в момент времени t=10G мс при следующих параметрах гармонических функций:

В, мА,

рад, рад, рад/с.

Найдите произведение p=p(t)=u(t)·i(t) (мгновенная составляющая тока в цепи в момент времени t) и внесите величину p в милливаттах в АКОС для проверки.

3.2. (2 балла). Приведите к канонической (косинусоидальной) форме три гармонических колебания, заданных функциями

 

при следующих значениях параметров в градусах:

и найдите их начальные фазы , и .

Вычислите сумму + + в градусах при условии и внесите ее в АКОС для проверки,

3.3. (2 балла). Найдите параметры гармонического напряжения U_m, , по осциллограмме (рис.3.8), вычерченной в масштабе m₁ В/дел по вертикали и m₂ с/дел по горизонтали при следующих значениях m₁ и m₂:

 

 

Обратите внимание на знак начальной фазы - положителен он или отрицателен в Вашем случае.

 

Рис. 3.8

 

Напишите выражение для u(t) и вычислите мгновенное значение функции в момент времени t=0. Внесите значение u=u(0) в вольтах для проверки в АКОС.

3.4. (2 балла). Решите поставленную выше задачу 3.3 применительно к другой кривой напряжения (рис. 3.9). По сравнению с рис. 3.8 ось ординат на рис. 3.9 смещена вправо. Найдите в рассматриваемом случае новое значение начальной фазы . Сопоставьте с прежним значением из задачи 3.3 и сделайте обобщающий вывод относительно того, как связан знак начальной фазы с положением ближайшего максимума кривой по отношению к оси ординат. Найдите величину и внесите ее в АКОС для проверки.

Рис. 3.9

3.5. (2 балла). Измеренный на осциллографе (рис. 3.10) интервал времени при частоте w=(25+G+N) рад/с равен мс.

Определите разность фаз двух колебаний в градусах и внесите в АКОС с учетом знака.

 

Рис. 3.10

3.6. (2 балла). Гармоническое колебание задано выражением

где

В,

град.

Изобразите это колебание в виде вектора, подобно изображенному на рис. 3.11. На какой угол q в градусах нужно довернуть против часовой

стрелки вектор на рис. 3.11 и во сколько раз (k) увеличить его по длине, чтобы вновь построенный таким путем вектор соответствовал колебанию (3.1)?

Внесите величину, равную kq в АКОС для проверки.

 

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ.

 

3.1. Составляющие сложного колебания

 

,

 

с частотами w₁ и 2w₁ испытывают при усилении (рис. 3.12) смещение по фазе , при соответствующих временных сдвигах и .

 

Рис. 3.12

 

В каком соотношении должны находиться смещения по фазе и для того, чтобы временные сдвиги и были одинаковы и напряжение прошло на выход без фазовых искажений по форме?

 

 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

;

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1, с. 65 - 71].

 

ТЕМА 4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОК И НАПРЯЖЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАХ ЦЕПИ И ИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

Гармоническое колебание (напряжение, ток) в общем случае определяется тремя параметрами - амплитудой, частотой и начальной фазой. При известной частоте в расчетах достаточно установить его амплитуду и начальную фазу, что и является обычно

При гармоническом токе через сопротивление R (рис. 4.1), описываемом выражением

 

, (4.1)

 

напряжение на нем в соответствии с законом Ома выражается равенством

 

(4.2)

 

где

(4.3)

(4.4)

 

кМежду амплитудами напряжения и тока в сопротивлении R имеет место такое же прямо пропорциональное соответствие (4.3), как между мгновенными значениями в равенстве (4.2). Аналогичная зависимость имеет место по отношению к действующим значениям напряжения U_R и тока I_R, , поскольку

 

Начальная фаза напряжения (4.4) совпадает с начальной фазой тока через сопротивление R. Это характерно только для сопротивления, называемого активным.

При токе через L,

 

(4.5)

 

напряжение на индуктивности (рис. 4.2) определяется производной от тока и выражается равенством

(4.6)

где

(4.7)

 

- амплитуда напряжения на индуктивности,

 

(4.8)

- начальная фаза.

Коэффициент x_L, связывающий амплитуды напряжения и тока в формуле (4.7) называется реактивным сопротивлением индуктивности. Величина его зависит от L и w и определяется равенством

 

(4.9)

 

Формула (4.7) только по аналогии с (4.3) носит название закона Ома для индуктивности.

Начальная фаза напряжения на индуктивности (4.8) больше начальной фазы тока .Напряжение опережает по фазе ток, а ток отстает по фазе от напряжения на угол 90°. Аналогичное формуле (4.7) выражение справедливо по отношению к действующим значениям напряжения и тока:

 

(4.10)

 

Формулы (4.7) и (4.10) справедливы только по отношению к амплитудам U_mL, I_mL или действующим U_L, I_L значениям напряжения и тока, но ни в коей мере неприменимы к мгновенным значениям u_L(t) и i_L(t), соотношение между которыми определяется дифференциальным выражением и, кроме того, зависит от времени.

При токе через емкость (рис. 4.3)

 

(4.11)

 

напряжение на ней, пропорциональное интегралу от тока, равно

. (4.12)

Откуда получим закон Ома для емкости:

 

(4.13)

 

где x_C – модуль реактивного сопротивления емкости, по определению равный:

 

(4.14)

Реактивное сопротивление емкости (4.14), в отличие от сопротивления индуктивности (4.9), обратно пропорционально частоте w.

Начальная фаза напряжения на емкости равна

(4.15)

В емкости ток опережает по фазе напряжение, а напряжение

отстает от тока на 90⁰.

При последовательном соединении элементов R, L и C (рис. 4.4) мгновенные значения напряжений на элементах складываются алгебраически так, что в любой момент времени результирующее напряжениеu u(t) (рис. 4.4) определяется равенством

 

u(t)= u_R(t)+ u_L(t)+ u_C(t). (4.16)

 

Рис. 4.4

 

Известно, что гармонические колебания одной частоты с разными начальными фазами в сумме образуют гармоническое колебание той же частоты с некоторой результирующей амплитудой U_m и начальной фазой . Эти две величины могут быть найдены геометрическим путем по законам векторной алгебры. Применительно к сумме мгновенных значений (4.16) справедливо следующее векторное равенство

 

. (4.17)

 

Векторы эти с учетом их угловых положений (начальных фаз) изображены на рис. 4.5а. Здесь же помещен вектор тока I_m с начальной фазой . Начальные фазы тока и напряжения на сопротивлении совпадают. Векторы и повернуты относительно тока на угол и - соответственно, первый в сторону опережения по фазе (против часовой стрелки), второй - отставания (по часовой стрелке), поэтому векторы и в последовательной цепи оказываются противоположны по направлению.

 

Рис. 4.5

 

Обозначим через вектор напряжения на реактивных элементах L и C в их последовательном соединении (рис.4.4). Ортогональный (повернутый на ) по отношению к , этот вектор по длине равен

 

(4.18)

где

(4.19)

представляет суммарное реактивное сопротивление цепи. Введем, кроме этого, обозначение

 

(4.20)

 

где - напряжение на активном элементе цепи R.

Приняв в качестве опорного вектор тока , от положения которого зависят другие векторы, можно построить диаграмму в виде (рис. 4.5, б).

Из диаграммы и выражений (4.18) и (4.20) следует следует соотношение для амплитуд напряжения и тока:

 

. (4.21)

 

Введем обозначение

 

(4.22)

 

с учетом которого формулу (4.21) можно представить в следующем виде

 

. (4.23)

 

Выражение (4.23) связывает амплитуду I_m тока в цепи с амплитудой суммарного напряжения на трех последовательно соединенных элементах в форме закона Ома.

Величина Z из (4.22) называется полным сопротивлением цепи с активной (R) и реактивной (X) составляющими. Его величина равна среднеквадратическому значению R и x. Для определения полного сопротивления последовательной RLC цепи ни в коем случае нельзя суммировать R и X по формуле Z=R+X. ЭТО ОШИБКА!!!

Реактивное сопротивление X=X_L-X_C может быть положительно или отрицательно в зависимости от того, какое из сопротивлений X_L или X_C превалирует. При X> 0 говорят, что сопротивление цепи имеет индуктивный характер, в противном случае (X< 0) - емкостный. Векторная диаграмма на рис.4.5б соответствует индуктивному характеру сопротивления цепи. Возможен случай, когда реактивные сопротивления X_L и X_C одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Тогда они компенсируют друг друга и в соответствии с (4.19) реактивное сопротивление X=0. Такое состояние цепи, зависящее от L, C и частоты , называют резонансом. При резонансе полное сопротивление цепи Z=R и напряжение на последовательном соединении равно напряжению на активном

сопротивлении U_m=U_mR.

Для описания цепей безотносительно к амплитудам токов и напряжений вводится треугольник сопротивлений, который применительно к цепи с векторной диаграммой рис.4.5б приведен на рис.4.6.

Треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений рис.4.5б и образуется из него путем деления сторон на амплитуду тока I_m. Одним катетом треугольника сопротивлений является отрезок, пропорциональный R, другим – X (с учетом знака), а длина гипотенузы равна полному сопротивлению Z цепи. Из рис.4.6 находится сдвиг фаз между напряжением и током

 

(4.24)

 

Величина его зависит от параметров цепи и частоты сигнала. Треугольник сопротивлений рис.4.6 соответствует положительным значениям X и . При отрицательном X соответствующий катет направлен вниз (рис.4.7а) и

< 0. Вырожденный в линию треугольник сопротивлений при резонансе показан на рис.4.7, б.

Средняя или активная мощность, развиваемая в электрической цепи, зависит от сдвига фаз между напряжением и током и определяется равенством

 

, (4.25)

 

где и - действующие значения напряжения и тока. При одинаковых U и I средняя мощность тем выше, чем меньше сдвиг фаз между напряжением и током . Величину называют коэффициентом мощности. В случае =0 получим =1 и мощность оказывается максимальной. При = _u­- _i=90⁰ соответственно =0 и средняя мощность независимо от амплитуд тока и напряжения равна нулю. Такое положение имеет место для " чистых" (без потерь) реактивных элементов. Идеальные индуктивность и емкость могут сколь угодно долго быть включенными в сеть 220 В без того, чтобы электрический счетчик начислил какую-либо плату за израсходованную энергию. Естественно, подобные эксперименты необходимо проводить технически грамотно во избежание короткого замыкания и других неприятностей.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какими выражениями определяются сопротивления элементов цепи R, L и C при гармоническом воздействии?

 

2. На рис.4.8 приведены три зависимости сопротивлений элементов от частоты. Какие зависимости относятся соответственно к сопротивлениям R, X_L и X_C?

3. Какая из трех векторных диаграмм тока и напряжения на элементе цепи (рис.4.9) соответствует активному сопротивлению R, индуктивности L, емкости C? Чему равны сдвиги фаз между напряжением и током в этих элементах?

 

Рис. 4.9

 

4. При измерениях действующих значений тока I и напряжения U между выводами неизвестного элемента, помещенного в " черный ящик" рис.4.10, выяснилось, что при увеличении частоты источника в два раза отношение напряжения к току U/I уменьшилось (увеличилось) в два раза. Какого рода элемент находится в " черном ящике"? Как выявить элемент с помощью осциллографа?

5. Какой формулой определяется полное сопротивление последовательной RLC цепи Z? Рассмотрите частные случаи, когда цепь состоит из R и L, R и C, L и C. Чему равно полное сопротивление реальной катушки индуктивности, рассматриваемой в виде последовательного соединения R и L (рис.4.11)?

6. Какие из сопротивлений R, X_L, X_C, X, Z: