ВВЕДЕНИЕ 2 страница. Необходимое для эквивалентности источников значение тока в амперах у источника (рис

 

Рис. 1.20

 

Примите при расчетах:

R_i=R_e=(G+0, 2N) Ом, R_н=7NG кОм,

E=200(G+2) + (-1)^N· GN В.

Необходимое для эквивалентности источников значение тока в амперах у источника (рис. 1.20б) внесите в АКОС для проверки.

1.6 (1 балл). Определите напряжение U_H на нагрузке у источника тока (рис.1.18) с внутренним сопротивлением R_i=(2G+N) Ом при величине R_H=(600+N) Ом и токе источника, равном i₀=[15+(-1)^N· G] А.

Внесите величину U_H в вольтах в АКОС для проверки.

 

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ

 

1.1. Как изменится напряжение u на нагрузке R_H, если:

1) последовательно с идеальным источником тока I (рис. 1.21, а)) включить источник напряжения E;

 

2) параллельно источнику напряжения E (рис. 1.21, б)) включить источник тока I?

 

Рис. 1.21

 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1, с. 8 - 36].

 

 

ТЕМА 2. НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКИ В СОПРОТИВЛЕНИИ, ИНДУКТИВНОСТИ И ЕМКОСТИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

В электрической цепи сопротивление, индуктивность и емкость относятся к категории так называемых пассивных двухполюсных элементов.

Между напряжением u и вызываемым им током i в сопротивлении R имеет место соответствие, определяемое законом Ома:

(2.1)

Полагается, что R не зависит от протекающего через сопротивление тока и внешних воздействий (температуры и др.), а также от времени. Такое сопротивление называется линейным. Изображаемое на схемах в виде удлиненного прямоугольника (рис. 2.1, а) сопротивление R в реальной цепи не всегда имеет вид отделяемого от других элементов устройства в форме, например, реостата или резистора. Чаще оно учитывает, моделирует энергетические потери и другие явления в цепи. Так, в частности, реальная катушка индуктивности часто представляется на схемах в виде последовательно соединенных L и R, где R - сопротивление проводов катушки. Отделить R от катушки физически невозможно, но при анализе это, однако, допускается.

На схеме изображаются отдельно – «чистое» (без индуктивности) сопротивление R и «чистая» (без сопротивления) индуктивность L. Такого рода несмешанные элементы цепи R, L, а также C называются идеальными. Речь, по существу, идет о моделях, которыми заменяются истинные устройства и элементы цепи на электрических схемах.

Рис. 2.1

 

Формально из (2.1) сопротивление R представляет отношение напряжения к возбуждаемому току. К такому пониманию сопротивления (не только в отношении R) при внешне сходных обстоятельствах неоднократно будем прибегать в дальнейшем.

И линейные и нелинейные сопротивления можно характеризовать посредством вольтамперных характеристик (рис. 2.2), подобных рассмотренным в теме 1 по отношению к источникам. У линейного сопротивления (прямая на рис. 2.2) зависимость u(i) - линейная при всех значениях i, положительных и отрицательных, а у нелинейного она может иметь любой непрямолинейный вид. В усилительных и других устройствах приходится иметь дело, как отмечалось в теме 1, не только с абсолютными значениями напряжения u и тока i, но и с их приращениями. На кривой зависимости u от i выбирается некоторая рабочая точка с координатами U₀, I₀ (рис. 2.2), относительно которой отсчитывают приращение Δ i=i-I₀ и Δ u=u- U₀. При небольших Δ i и Δ u и приближенно линейном рабочем участке кривой u(i) можно считать отношение

в некоторых пределах величиной постоянной, не зависящей от u и i. Определенное таким путем сопротивление называется динамическим или дифференциальным.

Сопротивление R наделяется в теории (близко к практике) тем свойством, что, как бы причудливо ни менялось напряжение на нем в функции времени (рис. 2.3, а), ток изменяется аналогично, следуя за напряжением. Кривые напряжения и тока подобны, знаки у u(t) и i(t) одинаковы. Вследствие этого, мгновенная p(t) и средняя P мощности неизменно положительны.

Сопротивление необратимо потребляет электрическую энергию извне, преобразуя ее в другие виды энергии: тепловую, химическую, механическую, излучения и пр.

Электрическая мощность P при постоянном токе определяется в соответствии с законом Джоуля-Ленца равенствами:

(2.2)

 

Отсюда эквивалентное в энергетическом отношении сопротивление R при известной потребляемой объектом мощности P находится по формулам

 

(2.3)

где U - напряжение и I - ток, потребляемый объектом.

Сопротивление R может быть полной моделью отдельного физического устройства (резистора, электрической лампы) или составной частью модели более сложных устройств (например, катушки индуктивности), учитывающей потребление, потери энергии. Величина сопротивления может зависеть от частоты сигнала (за счет поверхностного эффекта), температуры окружающей среды и других факторов, если их влияние необходимо учесть в модели.

В связи с необратимым потреблением энергии сопротивление R называют активным. Иначе обстоит дело в случае реактивных элементов цепей L и C.

Между зарядом емкости q и напряжением на ней u_C имеет место известное соотношение

 

(2.4)

 

Ток через емкость определяется скоростью притока или убывания заряда в ней и выражается равенством

 

(2.5)

 

Поскольку i_C зависит не от абсолютного значения u_C, а от производной напряжения на емкости по времени, при одном и том же u_C ток может быть и положительным, и отрицательным. На рис. 2.3, в показана зависимость тока i_C от времени для того же напряжения u(t) (рис. 2.3, а), что и в случае сопротивления R. Обращает на себя внимание несхожесть кривой i_C(t) с u(t), а так же с i_R(t). Напряжение на емкости определяется равенством:

(2.6)

где u_C(t₁) - начальное напряжение на конденсаторе к моменту начала наблюдения зарядного процесса t₁, интеграл представляет дополнение к начальному заряду конденсатора за счет тока в интервале от t₁ до рассматриваемого момента времени t₂. При нулевом начальном заряде (напряжении)

 

. (2.7)

 

Заключенная в емкости зависящая от t энергия выражается равенством

 

(2.8)

 

В зависимости от функции u_C(t) энергия может нарастать или убывать с течением времени.

Третий элемент - индуктивность L - дуален по отношению к емкости C. Это означает, что выражение для напряжения на индуктивности может быть получено из формулы для тока через емкость (2.5) путем замены C на L и u на i:

 

(2.9)

 

Формула (2.9) представляет собой закон электромагнитной индукции Фарадея - Максвелла. Ток через индуктивность как функция от t определяется дуальной по отношению к (2.6) формулой

 

(2.10)

 

При нулевом к моменту t₁ токе i_L(t₁)

(2.11)

 

Энергия, заключенная в индуктивности (в ее электромагнитном поле) в зависимости от t определяется равенством

 

(2.12)

 

Реактивные элементы моделируют процессы накопления энергии электрического поля в емкости C или магнитного поля в индуктивности L. Они либо забирают энергию из внешней цепи, сохраняя и не преобразуя ее в другие виды энергии, либо возвращают в цепь ранее накопленную энергию. В первом случае мгновенная мощность

 

(2.13)

 

положительна, а во втором - отрицательна. Для емкости и индуктивности соответственно можно записать

 

(2.14)

 

а для индуктивности

 

(2.15)

 

Например, если напряжение емкости положительно и возрастает, то p_C(t)> 0 и происходит заряд емкости, то есть она запасает энергию, поступающую за счет тока внешней цепи (источника).

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

При ответах на вопросы данной темы и решении задач потребуется осуществлять дифференцирование и интегрирование простейших функций времени, заданных в графическом виде. Достаточные для этого справочные данные приведены ниже в табл. 2.1.

 

Таблица 2.1.

 

1. Какими свойствами наделяется сопротивление R в теории? Какие физические явления, процессы скрываются за активным сопротивлением, наносимым на схеме в условленной форме (в виде удлиненного прямоугольника (рис. 2.5))? Всегда ли сопротивление R отделимо физически от других элементов цепи?

2. По какой формуле можно найти сопротивление R для эквивалентной замены электродвигателя (рис. 2.5) при напряжении U, развивающем электрическую мощность в ваттах, равную P?

Чему равно сопротивление R_A антенны A радиопередатчика (рис. 2.6) при излучаемой в пространство мощности электромагнитных колебаний P_A =100 Вт и действующем значении тока на ее входе I =1А?

 

Рис.2.4 Рис. 2.5

 

3. Какое значение следует принять в расчетах в случае вольтамперной характеристики, приведенной на рис. 2.6, при рабочей точке с координатами U₀, I₀? Оцените приближенно, чему оно равно численно?

4. Чем принципиально отличается сопротивление R от реактивных элементов цепей L и C? Почему со-

противление R называется активным? Каким соотношением связаны напряжение u_R(t) и ток через сопротивление i_R(t)? Зависит ли это соотношение от закона изменения напряжения или тока в функции времени при линейном сопротивлении R? Может ли ток через сопротивление быть отрицательным при положительном напряжении или наоборот, при однонаправленных ориентирных стрелках?

5. Какими соотношениями определяются зависимости тока от напряжения и напряжения от тока в случае индуктивности L, емкости C? Может ли ток через индуктивность или емкость быть отрицательным, когда напряжение положительно и наоборот? При каких условиях это имеет место?

6. При трапецеидальной форме изменения напряжения u(t) (рис.2.7, вверху) какая из функций времени i(t) (1, 2 или 3) соответствует току через сопротивление R?

7. Какая из функций времени i(t) на рис. 2.7 соответствует току через индуктивность L, через емкость C?

8. Истолкуйте зависимость напряжения на индуктивности u_L(t) и мгновенной мощности p_L(t), изображенных на рис. 2.8 (б и в) при законе изменения тока во времени, приведенном на рис. 2.8, а.

 

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Почему мгновенная мощность в одних интервалах времени положительна, в других отрицательна? Как это связано с энергетическими процессами в индуктивности (накоплением или отдачей энергии в ее магнитном поле)?

9. Импульс напряжения на емкости в интервале от t₁ до t₂ имеет вид двух (нарастающей и спадающей) ветвей параболы (рис.2.9). Какого вида напряжение в том же интервале времени покажет осциллограф, подключенный к сопротивлению R, присоединенному последовательно к емкости?

 

ЗАДАЧИ

 

2.1. (3 балла). Через последовательно соединенные сопротивление R, индуктивность L и емкость C протекает одинаковый, линейно нарастающий ток (рис. 2.10), определяемый уравнениями:

 

Рис. 2.10

Значения k, T, C, R и L примите равными:

k=100/G А/с, T=G/3 мс,

кОм,

нФ,

Гн,

аргумент синуса - в радианах.

Напишите, используя индивидуальные данные, уравнения для напряжений u_R(t), u_L(t), u_C(t). Рассчитайте и изобразите одну под другой в одинаковом масштабе времени исходную функцию i(t) и функции u_R(t), u_L(t), u_C(t).

Построениям кривых должны предшествовать расчетные таблицы значений функций в выбранных для вычислений точках. Количество расчетных точек должно быть по возможности небольшим, но достаточным для уверенного графического воспроизведения исследуемых функций.

Просмотрите кривые. Обратите внимание на существенно разный характер напряжений на R, L и C при одинаковом токе.

Определите по кривым или рассчитайте значения напряжений u_R(t), u_L(t), u_C(t) в момент времени

Сложите полученные таким путем три напряжения и внесите их сумму в вольтах (напряжение на трех последовательно соединенных элементах, рис.2.10, б) в АКОС для проверки.

2.2. (2 балла). Ток через катушку индуктивности L при подсоединении ее через сопротивление R (рис. 2.11, а) к источнику постоянной ЭДС e(t)=E (замыкании ключа k) устанавливается не мгновенно, а возрастает по закону:

 

где . Функция эта применительно к некоторым E, R, и t изображена на рис. 2.11, б. Определите:

а) как изменяется напряжение u_R(t) на сопротивлении R в процессе установления тока в интервале от t=0 до t=5 t;

б) по какому закону изменяется напряжение на индуктивности в том же интервале времени?

Представьте результаты в аналитическом и графическом виде в форме построенных в одном масштабе по оси абсцисс функций времени e(t), i(t), u_R(t), u_L(t) при следующих данных:

 

В, L=(G+1) мГн, R = ( 5+20× N) кОм.

 

Рис. 2.11

 

Найдите напряжение на индуктивности u_L(t)=u в момент времени t =7 t /(N + G).

Внесите величину u в вольтах для проверки в АКОС.

2.3. (2 балла). Ток через емкость C по мере ее заряда от источника постоянной ЭДС E (рис. 2.12, а) через сопротивление R уменьшается по закону

 

 

Зависимость i_C(t) при некоторых E, R и C изображена

на рис. 2.12, б. Установите, по какому закону возрастает напряжение на конденсаторе u_C(t) в процессе его заряда. К чему стремится u_C(t) с увеличением времени заряда t. Изобразите кривую u_C(t) в интервале времени от t=0 до t=3RC.

Определите энергию , переданную конденсатору источником по истечении времени заряда t при

 

мкФ, В.

 

Внесите величину W в мДж для проверки в АКОС!

 

Рис. 2.12

2.4. (2 балла). Ток i_L(t) через отклоняющую катушку системы магнитной развертки телевизора изменяется по периодическому закону (рис. 2.13); T – период повторения. Уравнение процесса в рамках одного периода от t=0 до t=T может быть записано в виде

 

 

где k, k₁ - угловые коэффициенты прямых на рис. 2.13, задаваемые равенствами:

 

А/с,

А/с.

 

Найдите и изобразите графически, как изменяется во времени напряжение u_L(t) на катушке индуктивности при заданной кривой изменения тока (рис.2.13) при значении индуктивности Гн.

Найдите разность D между максимальным (положительным) и минимальным (отрицательным) значениями напряжения на катушке в интервале периода.

 

Рис. 2.13

 

Внесите величину D в вольтах в АКОС для проверки.

2.5. (1 балл). Напряжение на конденсаторе u_C(t), включенном (рис. 2.14, а) между зажимами a, b источника переменной, так называемой гармонической (синусоидальной) ЭДС, в интервале периода изменяется по закону (рис.2.14, б).

Определите, по какому закону в этом интервале времени изменяется ток i_C(t) через конденсатор при следующих данных:

 

В, нФ, мкс.

 

Рис. 2.14

 

Найти значение , мА, в момент времени мкс, внесите его в АКОС.

2.6. (2 балла). При условиях предыдущей задачи найдите выражение для мгновенной мощности p_C(t), постройте график в том же масштабе, что и кривая рис. 2.14, б.

Истолкуйте кривую с физической точки зрения - в каких интервалах времени происходит накопление энергии в емкости (заряд), в каких - отдача энергии источнику (разряд).

Найдите значение мгновенной мощности в момент времени

мкс.

Внесите величину p, мВт, для проверки в АКОС.

 

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ

 

2.1. Какой формы напряжение от источника u(t)=e(t) следует подать на отклоняющие катушки телевизионного ки-

нескопа (рис. 2.15) в интервале времени от t₁ до t₂ для получения линейно нарастающего тока (и напряженности магнитного поля) в этом интервале?

2.2. Чему равно напряжение u₁ на индуктивности L в интервале времени от t₁ до t₂ (рис. 2.16), если известно, что напряжение на емкости в этом интервале времени возрастает по линейному закону?

 

Рис. 2.15. Рис. 2.16.

 

 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

R	C	L

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1, с. 16 - 28]; [2, с. 27 - 38].

ТЕМА 3. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ И ЕГО ПАРАМЕТРЫ

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

В качестве основной используется косинусоидальная форма гармонического колебания:

 

, (3.1)

 

где A_m - амплитуда колебания, величина по определению положительная, - круговая частота (рад/с), f - циклическая частота (Гц), T - период колебания, - начальная фаза. Действующее значение гармонического сигнала в =1, 41 раз меньше его амплитуды.

Если перед функцией (3.1) стоит знак минус, или функция задана в синусоидальном виде

 

(3.2)

 

ее следует привести к форме (3.1):

 

 

Приведение гармонического колебания к единой форме записи (3.1) необходимо для однозначного определения начальной фазы, в первую очередь при построении векторных диаграмм и использовании комплексного метода определения напряжений и токов в цепях (тема 6 и др.). При сопоставлении

двух или нескольких колебаний по начальным фазам их также необходимо привести к единой форме.

На векторной плоскости колебание (3.1) представляется в виде вектора, равного по длине в соответствующем масштабе амплитуде колебания A_m и отклоненного относительно горизонтальной оси на угол против часовой стрелки (при ). При угол откладывается в противоположном направлении. Два вектора (рис. 3.1) дают наглядное представление об амплитудах и фазовых соотношениях двух гармонических колебаний a₁(t) и a₂(t). Частоты у колебаний полагаются одинаковыми, известными (заданными) и на векторной диаграмме не отражаются.

Угол носит название разности или сдвига фаз второго колебания относительно первого.

Представив (3.1) в виде

 

(3.3)

(3.4)

замечаем, что колебание a(t) (3.1) или (3.3), выраженное в графической форме, представляет косинусоиду, сдвинутую относительно исходной (при ) на отрезок (рис.3.2).

 

 

Сотношение между и определяется равенством (3.4). При < 0 (начальная фаза отрицательна) > 0 - косинусоида смещается при этом вправо (рис.3.2) вдоль оси абсцисс (в сторону отставания по фазе).При > 0 (функция опережает исходную по фазе), < 0 кривая смещена влево. Эти положения полезно запомнить. Они нужны при анализе колебательных процессов посредством осциллографа.