Верификация модели

4.1. Общее качество уравнения. Оценим общее качество модели.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации, который представляет собой долю дисперсии, объясненной выбранным фактором. Коэффициент детерминации () рассчитывается как квадрат коэффициента корреляции для парной регрессии. В Excel множественный R для парной регрессии равен коэффициенту корреляции. Скорректированный (нормированный) индекс детерминации позволяет более точно определить качество модели. Если , то все точки наблюдения лежат на регрессионной прямой. Для определения статистической значимости коэффициента детерминации используется – статистика, рассчитываемая по формуле: . Величина имеет распределение Фишера с степенями свободы. По выборке находится наблюдаемое значение Fнабл статистики. Если Fнабл , то значим ( = Fкр – критическая точка распределения Фишера, зависящая только от объема выборки).

 

Указанные показатели находятся в таблице Регрессионная статистика листа «Регрессия»(таблица 1.7):

Таблица 1.7 – Регрессионная статистика

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0, 9869
R-квадрат	0, 9739
Нормированный R-квадрат	0, 9725
Стандартная ошибка	14, 04
Наблюдения

 

Коэффициент множественной детерминации R-квадрат равен 0, 9739. Так как коэффициент множественной детерминации близок к 1, то уравнение имеет высокое качество. Это факт подтверждает также нормированный индекс множественной детерминации, равный 0, 9725.

Значимость коэффициента множественной детерминации R-квадрат устанавливается с помощью критерия Фишера в таблице Дисперсионный анализ листа «Регрессия».

Таблица 1.8 – Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия			132547, 02	672, 45	1, 04396E-15
Остаток		3547, 98	197, 11002
Итого
			Fкр	4, 4139

 

Так как наблюдаемое значение Fнабл =672, 4519 > Fкр = 4, 413873, то R-квадрат значим (значительно отличается от нуля), что еще раз подтверждает высокое качество построенного уравнения регрессии.

 

4.2. Нормальность распределения остатков. Проанализируем нормальность распределения остатков для возможности использования критерия Стьюдента при проверке статистических гипотез.Сделать вывод о нормальности распределения остатков можно по: 1) гистограмме остатков, 2) числовым характеристикам асимметрии и эксцессу, 3) критерию Пирсона.

 

Остатки (отклонения наблюдаемых значений от теоретических) являются оценками случайного члена e уравнения регрессии. Анализируя качество модели, необходимо проверить ряд статистических гипотез, использующих критерий Стьюдента, которым можно воспользоваться в случае, когда остатки распределены по нормальному закону. Кривая плотности нормального распределения задается функцией , где a – математическое ожидание, s — среднее квадратическое отклонение. Например, при а = 0 и s = 1, она имеет следующий вид (рис.1.2):   Рисунок 1.2 – Кривая нормального распределения   Визуально нормальность распределения остатков можно определить, сравнивая кривую плотности нормального распределения с гистограммой частот (частостей) остатков, т. е. со ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы одинаковой длины на оси , а высоты равны сумме частот значений остатков, попадающих в интервал. Если линия, соединяющая середины верхних сторон прямоугольников, близка к кривой плотности нормального распределения, то предполагают, что распределение остатков приближено к нормальному. Числовые характеристики асимметрия и эксцесс нормально распределенной случайной величины равны 0. При асимметричном распределении вершина кривой сдвинута относительно ординаты выборочной средней. Если асимметрия больше 0, то вершина сдвинута вправо (положительная асимметрия), если меньше 0, то – влево (отрицательная асимметрия) (рис. 1.3). а б Рисунок 1.3 – Правосторонняя (а) и левосторонняя (б) асимметрии распределения   Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение, отрицательный эксцесс – относительно сглаженное распределение (рис. 1.4). а б Рисунок 1.4 – Положительный (а) и отрицательный (б) эксцессы распределения   Оценка вида кривой Гаусса и значений асимметрии и эксцесса являются качественными характеристиками распределения. Для надежности вывода (с вероятностью 0, 95) проверяется статистическая гипотеза о нормальности распределения с помощью критерия согласия Пирсона. Выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения остатков. Для проверки данной гипотезы используется статистика c2 = , имеющая распределение c2 с (k – r – 1) степенями свободы, где r – число параметров распределения F (x), которые оцениваются по выборке, n – объем выборки; k – число непересекающихся интервалов выборочных значений, ni – число значений выборки, принадлежащих i – му интервалу, i = 0, 1, ¼, k – 1; pi – вероятности попадания значений случайной величины в каждый из этих интервалов. По выборке вычисляется наблюдаемое значение статистики . Для выбранного уровня значимости по распределению c2 находится число = c2(a; k – r – 1). Гипотеза о нормальном распределении случайного члена принимается на заданном уровне значимости, если < . Если же ³ , то гипотеза отвергается.

 

1) Соединим середины верхних сторон прямоугольников гистограммы.

Рисунок 1.5 – Гистограмма остатков

 

Так как ломаная линия (рис. 1.5) близка к кривой нормального распределения, заданной уравнением , где a = 0 – математическое ожидание, s = 13, 67 – среднее квадратическое отклонение, то остатки распределены по нормальному закону. Следовательно, по визуальному анализу гистограммы можно сделать вывод о выполнении условия 4.

2) Так как асимметричность равна -0, 3, то наблюдается небольшая левосторонняя асимметричность эмпирической кривой относительно теоретической.

Эксцесс равен 0, 08, поэтому наблюдается небольшая «островершинность» эмпирической кривой. Так как характеристики плотности распределения незначительно отличаются от нуля, то можно считать распределение нормальным.

3) Докажем нормальность распределения остатков с помощью критерия Пирсона.

На листе «Условие 1 и нормальность»найдены наблюдаемое и критическое значения статистики хи-квадрат. Так как хи-квадрат наблюдаемое, равное 1, 67, меньше хи-квадрат критического, равного 7, 81, то остатки распределеныпо нормальному закону, несмотря на незначительные отклонения эмпирического распределения остатков от нормального.

4.3. Значимость коэффициентов регрессии. Проверим значимость коэффициентов регрессии.

 

Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется с помощью - статистики Стьюдента. Вычисляются наблюдаемые значения и . По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находится критическая точка = tкр. Если , то коэффициент регрессии значим. Если , то коэффициент регрессии значим. Значимость коэффициентов подтверждает правильность выбора модели на этапе спецификации. Если хотя бы один из коэффициентов не значим, то необходимо вернуться на этап спецификации.

 

Значимость коэффициента регрессии оценивается с помощью -статистики. Наблюдаемое значение статистики (таб. 1.6) tнабл = -4, 57 (оно равно отношению точечной оценки коэффициента к его стандартной ошибке). Критическое значение tкр = 2, 1. Так как |tнабл| = 4, 57 > tкр = 2, 1, то коэффициент значим.

Для коэффициента регрессии наблюдаемое значение статистики tнабл = 25, 93 (оно равно отношению точечной оценки коэффициента к его стандартной ошибке). Критическое значение зависит только от объема выборки, поэтому tкр = 2, 1 также как для . Так как |tнабл| = 25, 93 > tкр = 2, 1, то коэффициент значим.

Значимость коэффициентов регрессии подтверждает выдвинутое на этапе спецификации предположение о линейной форме зависимости факторов ВВП и экспорт.