Определение внутренних усилий методом сечений. Напряжения

 

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается, и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза; оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.

Метод сечений основан на третьем законе Ньютона.

Оставлен ная часть

Отброшен ная часть

F2

F1

F1

F2

m1

m1

a     a

y a   a

m2

F4

F3

Q

a Fr

N

Mb

z

M¢ b

F¢ r

a     a

F4

m2

Q

F3

 

 

Рис. 1.1.

 

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, мы сможем найти равнодействующие этих сил.

Основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус. Рассмотрим, каковы будут статические равнодействующие внутренних сил в поперечном сечении бруса. Рассечем брус (рис. 1.1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.

Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическими равнодействующими внутренних сил, действующих в сечении а-а, будут главный вектор F_гл, приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси, т. е. лежащую в плоскости поперечного сечения.

Эти составляющие главного вектора вместе с главным моментом назовем внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса. Составляющую N назовем продольной силой, составляющую Q - поперечной силой, пару сил с моментом - изгибающим моментом.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов статика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса, а именно:

 

 

(ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 1.2), для определения которых статика дает шесть уравнений равновесия:

 

 

Mby

Mt

x

N

z

Mbx

Qx

Qy

y

 

Рис. 1.2.

 

Шесть внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении бруса в самом общем случае, носят следующие названия: N - продольная сила; - поперечные силы; - крутящий момент, изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные внутренние силовые факторы. Рассмотрим частные случаи.

1. В сечении возникает только продольная cилa N, в этом случае это деформация растяжения (если сила направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q, в этом случае это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент , в этом случае это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент , в этом случае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изгибающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

Одним из основных понятий в сопротивлении материалов является напряжение. Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении, т.е. нагрузку, приходящуюся на единицу площади.

Рассмотрим какой-либо произвольно нагруженный брус и применим к нему метод сечений (рис. 1.3).

Выделим в сечении бесконечно малый элемент площади Ввиду малости этого элемента можно считать, что в его пределах внутренние силы, приложенные в различных точках, одинаковы по модулю и направлению и, следовательно, представляют собой систему параллельных сил. Равнодействующую этой системы обозначим Разделив dF на площадь элементарной площадки dA, определим интенсивность внутренних сил, т. е. напряжение вточках элементарной площадки dA, .

Таким образом, напряжение естьвнутренняя сила, отнесенная к единице площади сечения. Напряжение есть величина векторная.

Единица напряжения:

 

= Паскаль (Па).

 

 

Pис. 1.3.

 

Поскольку эта единица напряжения очень мала, то мы будем применять более крупную кратную единицу, а именно мегапаскаль (МПа):

 

 

Разложим вектор напряжения на две составляющие: - перпендикулярную плоскости сечения и - лежащую в плоскости сечения (см. рис. 1.3). Эти составляющие назовем так: - нормальное напряжение, - касательное напряжение.

Так как угол между нормальным и касательным напряжениями всегда равен 90°, то модуль полного напряжения определится по формуле: .