ЗАДАЧА 7. Условие задачи. Решение задач на многогранниках способом перемены плоскостей проекций (приложение 5)

Условие задачи. Решение задач на многогранниках способом перемены плоскостей проекций (приложение 5).

Общие указания. Задачу выполнить на формате А3 в масштабе 1: 1. Обязательно обозначить новые оси проекций, новые проекции точек, расстояния, откладываемые по линиям проекционной связи от осей, определить видимость ребер многогранника на каждой плоскости проекций, проставить размеры, выполнение которых требовалось в задании.

Пирамиды обозначаются, начиная с вершины S и заканчивая вершинами основания: например, SABC. Для обозначения призмы сначала записываются вершины одного основания, потом второго: например, ABCA ' B ' C ', т.е. боковые ребра имеют обозначения AA ', BB ', CC '.

Метрические задачи связаны с нахождением натуральных величин отрезков, линейных и двугранных углов, отсеков плоскостей; позиционные — с поиском точек и прямых пересечения. Наиболее просто первые задачи решаются, когда геометрические фигуры параллельны плоскости проекций, последние – в случае, когда один из геометрических элементов, участвующих в пересечении, занимает проецирующее положение относительно плоскости проекции.

Решение данной задачи предполагает применение способа перемены плоскостей проекции. Новая плоскость проекций выбирается перпендикулярной одной из старых. Проецируемые геометрические фигуры при этом не меняют своего положения, но относительно новой плоскости проекции должны занимать частное положение, обеспечивающее получение проекций, наиболее удобных для решения поставленных задач.

Примеры решения. На рисунке 7.1 плоскость проекции П₄ перпендикулярна плоскости общего положения S, заданной треугольником АВС, и плоскости проекций П₂, следовательно, ось x ₂₄ перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости S (x ₂₄ ^ ¦ ₂). Расстояния, откладываемые от оси x ₂₄, равны расстояниям от оси x ₁₂ до горизонтальных проекций точек. На плоскость П₄ плоскость S проецируется в прямую – след S₄, угол наклона которого к оси x ₂₄ j определяет угол наклона плоскости к плоскости проекции П₂. Новая плоскость проекций П₅ параллельна плоскости S(АВС) и перпендикулярна плоскости проекций П₄, следовательно, ось x ₄₅ параллельна на рисунке 7.1 следу S₄ (x ₄₅ || S₄). Расстояния, откладываемые от оси x ₄₅, равны расстояниям от предыдущей оси x ₂₄ до фронтальных проекций точек. На плоскости проекций П₅ получают натуральную величину треугольника АВС.

В некоторых задачах необходимо построить центры описанной или вписанной в треугольник окружностей, расположенных на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам или биссектрис углов треугольника. Просто это сделать, имея натуральную величину треугольника. На рисунке 7.1 точка О – центр описанной вокруг треугольника АВС окружности — найдена сначала на плоскости проекций П₅, затем по линии проекционной связи на П₄ (точка О ₄ принадлежит следу S₄). Проекции точки О на П₁ и П₂ находят, используя так называемый «обратный ход»: расстояние от оси x ₂₄ до точки О ₂ равно расстоянию от точки О ₅ до оси x ₄₅, расстояние от оси x ₁₂ до точки О ₁ равно расстоянию от точки О ₄ до оси x ₂₄.

 

На рисунке 7.2 плоскость проекций П₄ перпендикулярна плоскости S(АВС) и плоскости проекций П₁, следовательно, ось проекций x ₁₄ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости S (x ₁₄ ^ h ₁). Расстояния, откладываемые от оси x ₁₄ равны расстояниям от оси x ₁₂ до фронтальных проекций точек. На плоскость П₄ плоскость S проецируется в прямую — след S₄. Угол наклона S₄ к оси x ₁₄ y определяет угол наклона плоскости S к плоскости проекций П₁. Плоскость проекции П₅ параллельна S и перпендикулярна плоскости проекций П₄, следовательно, ось x ₄₅ параллельна следу S₄ (x ₄₅|| S₄). Расстояния, откладываемые от оси x ₄₅, равны расстояниям от предыдущей оси x ₁₄ до горизонтальных проекций точек. Относительно П₄ плоскость S - проецирующая, относительно П₅ — плоскость уровня.

Для того чтобы найти натуральную величину линейного угла или построить геометрическое место точек, равноудалённых от сторон линейного угла – плоскость, проходящую через биссектрису угла перпендикулярно плоскости угла, необходимо плоскость, в которой расположен угол, перевести в плоскость уровня. На рисунке 7.2 на плоскости проекций П₅ угол g — натуральная величина угла САВ, прямая t – биссектриса этого угла, плоскость q - плоскость, точки которой равноудалены от сторон угла САВ. Плоскость q занимает проецирующее положение относительно П₅ и задаётся на ней следом q₅, совпадающим с проекцией биссектрисы t ₅ (q₅º t ₅). В данном задании необходимо определить видимость ребер изначально заданных всеми вершинами или построенных, исходя из условий, многогранников. На рисунке 7.3 видимость рёбер пирамиды SABC определяется с помощью конкурирующих точек 1 и 2 на П₁; 3 и 4 – на П₂.

Натуральная величина высоты пирамиды или призмы определяется на плоскости проекций, относительно которой плоскости основания занимают проецирующее положение. На рисунке 7.3 плоскость основания пирамиды S(АВС) перпендикулярна плоскости проекций П₄ (x ₁₄^ h ₁). Отрезок S ₄ O ₄, перпендикулярный S₄, есть натуральная величина высоты пирамиды. Для призмы – это отрезок, перпендикулярный проекциям оснований.

Угол между скрещивающимися прямыми можно найти с помощью пересекающихся прямых, параллельных двум заданным скрещивающимся. Для этого плоскость, определяемую этими пересекающимися прямыми, необходимо перевести в плоскость уровня. На рисунке 7.3 угол скрещивания между рёбрами АС и SB определяется как угол пересечения в произвольной точке K прямых а и b: а || АС; b || SB.

На рисунке 7.4 плоскость проекций П₄ параллельна отрезку АВ и перпендикулярна плоскости проекций П₁, следовательно, ось x ₁₄ параллельна горизонтальной проекции отрезка А ₁ В ₁ (x || А ₁ В ₁). На плоскость проекций П₄ отрезок АВ проецируется в отрезок натуральной величины, угол наклона которого к оси x ₁₄ a определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₁. Плоскость проекций П₅ перпендикулярна отрезку АВ и плоскости проекций П₄, ось проекций x ₄₅ перпендикулярна А ₄ В ₄, проекция отрезка на П₅ — точка А ₅º В ₅. На плоскости проекции П₆, параллельной отрезку АВ и перпендикулярной плоскости проекций П₂(x ₂₆ || А ₂ В ₂), находят угол b — угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₂. Плоскость проекций П₇ перпендикулярна отрезку АВ и плоскости проекций П₆ (x ₆₇^ А ₆ В ₆). Относительно плоскостей проекций П₄ и П₆ отрезок АВ — отрезок прямой уровня, относительно П₅ и П₇ — отрезок проецирующей прямой.

 

Расстояние между прямой и точкой находят на плоскости, относительно которой прямая перпендикулярна. На рисунке 7.5 отрезок [ DO ], определяющий расстояние от точки D до прямой АВ, проецируется в натуральную величину на плоскость проекций П _N, относительно которой прямая АВ перпендикулярна, следовательно, отрезок [ DO ] параллелен П _N.

Расстояние между скрещивающимися прямыми находят на плоскости, относительно которой одна из прямых перпендикулярна. На рисунке 7.6 прямая (DC) перпендикулярна плоскости проекций П _N, прямая АВ — общего положения. Отрезок [ КО ], определяющий расстояние между прямыми АВ и CD, параллелен плоскости проекций П_N и проецируется на неё в натуральную величину. Отрезок [ O_NK_N ] по теореме о проецировании прямого угла перпендикулярен (А_NВ_N).

Натуральная величина двугранного угла при ребре многогранника определяется на плоскости, перпендикулярной ребру. Грани двугранного угла занимают относительно этой плоскости проецирующее положение. На рисунке 7.7 определён угол j — линейная величина двугранного угла при ребре CD: между гранями ACD и BCD. Плоскость проекций П _N перпендикулярна ребру CD. На рисунке 7 построен также след плоскости D — D _N. Плоскость D представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от граней двугранного угла. Эта плоскость перпендикулярна плоскости проекций П _N, и след её на П _N совпадает с биссектрисой угла j.

Геометрическое место точек, удалённых на расстояние R от прямой АВ (рисунок 7.8), представляет собой прямой круговой цилиндр Y радиуса R, для которого прямая АВ является осью. Точки принадлежащие прямой CD и отстоящие от прямой АВ на расстояние R, находят как точки пересечения прямой CD с цилиндром Y: точки K и M. Наиболее просто эта задача решается в случае, когда цилиндр занимает проецирующее положение. На рисунке 7.8 плоскость проекций П _N перпендикулярна прямой АВ — оси цилиндра Y. Сам цилиндр проецируется на эту плоскость в окружность радиуса R, в пересечении которой с проекцией прямой C_ND_N находят проекции искомых точек К_N и M_N.

Плоскость q, проходящая через точку S на расстоянии R от прямой АВ, является касательной к цилиндру Y радиусом R с осью АВ (рисунок 7.9). Эта плоскость определяется точкой S и прямой касания l с цилиндром, параллельной прямой АВ: q (S, l). Плоскость проекций П _N перпендикулярна прямой АВ. Плоскость q проецируется на плоскость П _N в след q _N, касательный к окружности — проекции цилиндра Y.

С помощью цилиндра находится и недостающая проекция прямой CD, отстоящей от прямой AB на расстояние R (рисунок 7.10). Прямая AB является осью, а прямая CD — образующей цилиндра радиуса R. Задача просто решается на плоскости проекций П₅ (рисунок 7.11), на которую цилиндр проецируется в окружность радиуса R, прямая AB — в центр окружности, а прямая CD — в точку, принадлежащую окружности и отстоящую от оси x ₄₅ на расстояние t, равное расстоянию между С ₁ D ₁ и осью x ₁₄.

В результате имеют два варианта решения — прямые СD и C ¢ D ¢. Точки С ₅º D ₅ и C ₅¢ º D ₅¢ — проекции искомых прямых на П₅.

Геометрическое место точек, удалённых от заданной точки на заданное расстояние, представляет собой сферу с центром в заданной точке радиусом, равным заданному расстоянию. На рисунке 7.12 построена плоскость q, проходящая через заданную прямую AB на расстоянии R от заданной точки S. Эта плоскость является касательной к сфере радиусом R с центром в точке S и наиболее просто строится на плоскости проекций П _N, относительно которой прямая AB перпендикулярна, и, следовательно, сама плоскость q является проецирующей. След плоскости q₄ строится как прямая, касательная к окружности радиусом R с центром в точке S_N — проекции сферы. Плоскость q определяется прямой АВ и точкой касания K со сферой. На рисунке 7.13 проекцию точки K на предыдущей плоскости проекций П _{N –1} строят из условия принадлежности точки поверхности сферы. На следующих плоскостях проекций можно воспользоваться «обратным ходом» — соответствующими расстояниями от проекций точек до осей.

Для того чтобы построить прямую, равноудалённую от трёх параллельных прямых, необходимо перевести их в проецирующее положение, когда они спроецируются в точки, и, считая эти точки вершинами треугольника, найти центр описанной вокруг него окружности. Этот центр и будет проекцией искомой прямой. Она параллельна заданным прямым.

Угол между скрещивающимися прямыми l и m можно определить, имея плоскость проекций, параллельную им (рисунок 7.14). Для этого одну из прямых l переводят в проецирующее положение (l ^ П _{N –1}), а следующую плоскость проекции П _N выбирают параллельно второй прямой m (x_{N –1, N} || m_{N –1}), следовательно, обе прямые относительно последней плоскости проекций П _N параллельны, и угол пересечения проекций прямых на П _N есть искомый угол скрещивания j.

Чтобы построить недостающую проекцию прямой CD, пересекающей заданную прямую общего положения AB под прямым углом (рисунок 7.15), необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла. Для этого необходима плоскость проекций, параллельная прямой АВ. Прямой угол на эту плоскость проекций спроецируется в натуральную величину. На рисунке 7.16 плоскость проекций П₄ параллельна прямой АВ (x ₂₄ || А ₂ В ₂), поэтому прямой угол между прямыми АВ и CD проецируется на эту плоскость в натуральную величину (А ₄ В ₄ ^ С ₄ D ₄). Расстояния от оси x ₁₂ до недостающих проекций точек С и D на П₁ равны расстояниям от оси x ₂₄ до С ₄ и D ₄.