Теорема Котельникова

 

Эта теорема (доказана академиком Котельниковым В.А. в 1933 г.), устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром, исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству (3.9)

являются ортогональными если установить сдвиг

Путём соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщённый ряд Фурье. Из семейства функции достаточно рассмотреть лишь функцию при k=0.

(3.10)

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Определим квадрат нормы и проинтегрируем по t.

Функции будут ортонормированными, если:

(3.11)

Бесконечная совокупность функций.

(3.12)

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением . Отдельная функция называется k-той отсчётной функцией. Если произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

(3.13)

Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и k-той отсчётной функции:

(3.14)

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении теоремы Планшереля. Легко проверить, что каждая отсчётная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную .

Тогда, если - спектр излучаемого сигнала S(t), то по теореме Планшереля ,

Тогда:

(3.15)

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как , т.е. мгновенное значение сигнала S(t) в каждой отсчётной точке (по аналогии с )

Таким образом:

(3.16)

Откуда следует выражение ряда Котельникова:

(3.17)

Теорему Котельникова принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчётные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени с.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в её конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчётными значениями.

Теорема Котельникова показывает возможность «цифровизации» непрерывных сообщений.