Неупорядоченные линейные цепочки

 

Однако, рассмотрение моделей топологического беспорядка мы начнем с одномерных моделей. Если набор скалярных величин описывает расположение атомов на некоторой линии, то мы имеем одномерную цепочку. Упорядоченная цепочка будет определяться набором величин

, (3.3)

где - целое число. Если величины – случайные, то мы имеем дело с одномерной жидкостью или одномерным стеклом.

Относительно расположения атомов в такой системе можно выдвигать различные статистические гипотезы. В простейшем случае величины – независимые переменные, с постоянной вероятностью распределенные по всей длине цепочки. Это одномерный газ. Для характеристики его нужен лишь один статистический параметр – плотность упаковки или обратное ей среднее расстояние между частицами:

. (3.4)

Предел выражения (3.4) при неограниченном возрастании длины L и числа атомов N есть некоторая постоянная.

Поскольку абсолютная координата атома в цепочке не играет существенной роли, лучше задать статистические характеристики относительных координат атомов. В модели одномерного газа последовательные межатомные расстояния

(3.5)

распределены независимо и подчиняются распределению Пуассона

. (3.6)

Распределение Пуассона не подходит для конденсированных систем, поскольку не учитывается конечный размер атомов - принцип плотной упаковки. Этой модели можно придать известное правдоподобие, допустив, что атомы непроницаемы и не могут сблизиться на расстояние, меньшее некоторого минимального диаметра D; вместе с тем любой свободный зазор, превышающий некоторую длину G, будет занят другим атомом. В этом и заключается физическое обоснование модели Борланда, согласно которой межатомное расстояние должно лежать в некоторых фиксированных пределах

(3.7)

Согласно вычислениям по методу Монте-Карло, отрезки равной длины могут быть случайно и без перекрытия распределены вдоль некоторой линии, пока их концентрация не превышает 0, 75 концентрации в соответствующей регулярной плотно упакованной структуре. Другими словами, в рамках данной модели жидкости разумен выбор D_c = 1/2 G» 0, 75 а. Фактически результат 0, 7476 был получен еще в 1964 г. в так называемой «задаче о стоянке автомобилей». Сходный результат получается и с помощью «оборванного» распределения Пуассона для величин зазоров (рис. 3.3).

Рис.3.3. Модель Борланда.

 

В некоторых случаях удобно рассматривать одномерную гауссову жидкость, в которой каждая величина - подчиняется нормальному распределению с дисперсией и средним значением а, хотя на самом деле такой физической системы, видимо, не существует.

3.3.1. Модель Кронига – Пенни для неупорядоченной цепочки

Задав расположение атомов, мы должны определить другие существенные параметры модели. Например, для изучения динамики решетки одномерного стекла мы постулируем, что межатомные силы должны изменяться в зависимости от расстояния между соседними атомами. Далее, учет изменений интегралов перекрытия, содержащих волновые функции электронов, локализованных на соседних атомах, приводит к модели сильно связанных электро-

 

 

Рис. 3.4. а – модель беспорядка Кронига- Пенни; б – обобщение на суперпозицию потенциалов случайно расположенных атомов.

 

нов в неупорядоченных системах. В теории движения электронов в жидких металлах часто исходят из неупорядоченной модели Кронига – Пенни, в которой потенциальная энергия электрона в поле отдельного атома описывается дельта-функцией (рис.3.4):

.