Размерность и порядок

Как известно, одномерная решетка будет термически неустойчива. В самом деле, принимая во внимание довольно общие условия, которым удовлетворяет радиус действия межатомных сил, можно показать, что в одно- или двумерных системах спонтанный кристаллический порядок существовать не может.

Воспользуемся моделью гармонических колебаний решетки и произведем обычные Фурье преобразования к фононным переменным. Тогда кроме формулы для корреляционной функции (см. лекцию) можно получить еще следующее соотношение:

.

Нас интересует поведение суммы в правой части этого соотношения при больших значениях R. Знаменатель можно заменить на и положить ( _, где s - скорость звука). Интересуясь d -мерной решеткой, получим:

.

При d = 1 этот интеграл пропорционален R; при d = 2 он ведет себя асимптотически как ln R. В обоих случаях флуктуации расстояния между атомами в удаленных друг от друга узлах неограниченно возрастают по мере увеличения этого расстояния. С другой стороны, при d = 3 интеграл сходится к малой величине, не зависящей от R, так что предполагаемый порядок в решетке оказывается стабильным.

Очень сходный с этим результат легко получить для спиновой корреляционной функции , где R - расстояние между удаленными узлами в упорядоченной ферромагнитной цепочке. Таким образом, в одно- или двумерной системе в отсутствие факторов, изменяющих спектр магнонов (конечного магнитного поля или магнитной анизотропии), спонтанный ферромагнитный или антиферромагнитный порядок возникнуть не может.

В одномерной модели Изинга состояние спонтанного упорядочения термодинамически неустойчиво (рис.3.2).

Рис. 3.2. Дальний порядок в линейной цепочке (а) разрушается в результате одного единственного разрыва (б).