Метод координат

В аналитической геометрии геометрические объекты – кривые и поверхности – изучаются при помощи алгебры. В основе такого изучения лежит метод координат, при котором положение точки на прямой плоскости или в пространстве определяется соответственно одним, двумя или тремя числами, координатами этой точки, а каждой кривой или поверхности соответствует одно или несколько уравнений, связывающих координаты всякой точки им принадлежащей.

M (3; 4)

M (1; 3; 2, 5)

M 2, 5

Подставим в уравнение.

½ =1/2*1²(u) координаты точки M удовлетворяют уравнению y=(1/2)*x²

Определение. Абсциссой точки называют расстояние этой точки до оси (OY). Абсцисса положительна, если точка расположена справа от оси (OY), отрицательна, если точка слева от оси (OY).

Определение. Ординатой точки называют расстояние этой точки до оси (OX). Ордината положительна, если точка расположена выше оси (OX), отрицательна, если точка ниже оси (OX).

Расстояние между двумя точками на плоскости.

 

Деление отрезка в заданном соотношении.

Выберем точку О произвольно и зададим векторы:

Выразим вектор через и .

 

 

 

Из (2) подставим в (1)

Из имеем

из (4) – в (3)

 

(5)

поместим рисунок в систему координат так, чтобы точка О стала центром системы, тогда , координаты точки - неизвестны. Т.к. начало векторов ОА, ОВ, ОС – находятся в начале координат, то эти векторы называются радиус-векторами точек А, В, С (соответственно), тогда

Равенство (5) является векторной формулой деления отрезка в данном отношении.

Чтобы получить координатные формулы необходимо подставить в (5) из (6) одноименные координаты.

*

 

Формулы координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении (считая от А к В)Если отрезок АВ разделить точкой С на два равных отрезка, то

		**

 

Задача 1

Найти центр тяжести треугольника. Центр тяжести треугольника находиться в точке пересечения медиан. Находим координаты точки М₁ из условия:

 

 

Медианы в точке пересечения делятся в отношении

(от В к М₁)

 

 

Задача 2. До какой точки надо продлить отрезок АВ(от А к В) чтобы длина его стала в четыре раза больше прежней.

 

 

Задача 3.

М₁ (2; -1)М₂ (-1; 3) М₃ (-4; 2) есть координаты середины сторон треугольника. Найти координаты вершин треугольника.

Пусть

Тогда по формулам **