Логарифмические частотные характеристики звеньев

Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции

. (3.24)

Как видно из этого выражения, логарифм частотной и передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой – фаза.

Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФХ).

Для построения ЛАХ находится величина

. (3.25)

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в десять раз, два бела – в 100 раз, три бела – в 1000 раз и т. д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А(ω) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (3.25) должна была бы стоять цифра 10. Так как А(ω) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (например напряжений, токов, скоростей и т. д.), то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (3.25) стоит цифра 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз, то есть представляет сравнительно малую величину.

Для построения ЛАХ и ЛФХ используется стандартная сетка, изображенная на рис. 3.8. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки, соответствующие , а около отметок пишется само значение частоты в радианах в секунду. Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага. Однако удобнее использовать обычную миллиметровую бумагу, но масштаб по оси абсцисс наносить при помощи какой-либо шкалы из любого математического пакета или MS Excel. Такой метод позволяет при необходимости легко наносить любые промежуточные точки.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах. Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб в децибелах. Ось абсцисс должна проходить через точку нуля децибел, что соответствует значению модуля А(ω) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg (0)® -¥. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАХ. Как будет показано далее, для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты ЛАХ.

 

 

Рис. 3.8. Стандартная сетка для построения ЛАХ и ЛФХ

 

Для построения ЛФХ используется аналогичная ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в равномерном масштабе. Для практических расчетов, как это будет показано далее, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна «минус» 180⁰. Таким образом, отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный – вниз.

Иногда по оси частот указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис. 3.9). Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, то есть увеличению частоты в 10 раз. Применяется также масштаб в октавах. Одна октава соответствует удвоению частоты. Так как lg 2 = 0, 303, то одна октава соответствует 0, 303 декады. Использование на оси частот декад и октав менее удобно, чем нанесение самой частоты в радианах в секунду и поэтому используется редко.

 

Рис. 3.9. Логарифмический масштаб

 

Главнейшим достоинством ЛАХ является возможность построения ее во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАХ, может быть найдена суммированием ординат ЛАХ, соответствующих отдельным сомножителям. Подробно это будет показано далее при рассмотрении конкретных звеньев.

Для иллюстрации простоты построения ЛАХ рассмотрим несколько важных примеров.

1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу А(ω) = k1, тогда

ЛАХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис.3.8).

2. Рассмотрим случай, когда А(ω) = k2 / w.

Тогда . Нетрудно видеть, что это есть прямая линия, проходящая через точку с координатами ; и имеющая отрицательный наклон 20 дБ/дек, так как каждое удесятирение частоты вызовет увеличение на одну единицу, то есть на – 20 дБ (прямая 2 на рис. 3.8). Наклон 20 дБ/дек приблизительно равен наклону 6 дБ/окт (точнее 6, 06 дБ/окт, так как ).

Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (с осью частот) можно найти, положив А(ω) = 1. Отсюда получаем так называемую частоту среза ЛАХ, равную в этом случае .

3. Аналогичным образом можно показать, что в случае А(ω) = k3 / w2. ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая 3 на рис.3.8). Вообще для ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 n дБ/дек. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке ; или по частоте среза . Очевидно, что размерность коэффициента – секунда в степени – n ().

4. Рассмотрим случай, когда А(ω) = k₄ω.

Тогда . Нетрудно видеть, что это есть прямая линия, проходящая через точку ; и имеющая положительный наклон в 20 дБ/дек. Эта прямая также может быть построена по частоте среза , полученной приравниванием А(ω) = 1 (прямая 4 на рис. 3.8).

Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда , ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 m дБ/дек. Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке ; , или по частоте среза .

Иногда при расчете автоматических систем используются логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (ЛАФХ). Они строятся в координатах «модуль в децибелах – фаза» или «модуль в децибелах – запас по фазе». Под запасом по фазе понимается величина . На ЛАФХ для ориентировки могут наноситься точки, соответствующие определенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в радианах в секунду.