Апериодическое звено второго порядка

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается урав­нением

. (3.39)

При этом корни характеристического уравнения

(3.40)

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Т1 ≥ 2 Т2.

Левая часть уравнения (3.39) разлагается на множители

, (3.41)

где

. (3.42)

Передаточная функция звена

. (3.43)

Из последнего выражения видно, что апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т3 и Т4.

Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 3.15. Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 3.15, в). При отсутствии момента нагрузки на валу и при учете переходных процессов в цепи якоря динамика двигателя описывается двумя уравнениями, соответствующими закону равновесия эдс в цепи якоря

 

(3.44)

 

и закону равновесия моментов на валу двигателя

 

, (3.45)

 

где СЕ и СМ – коэффициенты пропорциональности между противо эдс и скоростью вращения и между вращающим моментом и током якоря; J – приведенный момент инерции; L и R – индуктивность и сопротивление цепи якоря.

 

 

Рис. 3.15. Апериодические звенья второго порядка

 

Решая уравнения (3.44) и (3.45) совместно, получим передаточную функцию двигателя постоянного тока при управлении напряжением якоря

, (3.46)

где электромеханическая постоянная времени

 

(3.47)

 

и электромагнитная постоянная времени якорной цепи

 

. (3.48)

Для того чтобы корни знаменателя в (3.46) были вещественными и передаточную функцию можно было представить в виде (3.43), необходимо выполнение условия .

Переходная функция получается путем решения дифференциального уравнения (3.39) при x1 = 1(t) и нулевых начальных условиях, то есть при t = 0; x2 = 0 и

. (3.49)

Функция веса

. (3.50)

 

Временные характеристики звена изображены на рис. 3.16 (для определенности принято ).

 

 

Рис. 3.16. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) апериодического звена второго порядка

 

На переходной характеристике показано построение, позволяющее по экспериментальным данным определять постоянные времени Т3 и Т4.

Частотная передаточная функция согласно (3.43), её модуль и фаза соответственно равны

; (3.51)

. (3.52)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики показаны на рис. 3.17. На амплитудно-фазовой характеристике отмечены три характерные точки: ω = 0; .

 

 

Рис. 3.17. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена второго порядка

 

Построим теперь логарифмические характеристики (рис. 3.18). Для этой цели проведем вертикальные пунктирные прямые при сопрягающих частотах w3 = 1 / T3 и w4 = 1 / T4. Будем считать, что T3 > T4 и w3 < w4.

ЛАХ определяется выражением

 

..(3.53)

 

Для частот, меньших, чем сопрягающая частота ω 3 (а значит и меньших, чем частота ω 4), будет справедливым и . Поэтому в этой области можно допустить L(w)» 20 lgk. Этому выражению соответствует прямая а–b на рис. 3.18.

Для частот ω 3< ω < ω 4 будет справедливым и . Поэтому в этой области можно принять L(w)» 20 lg(k / wT3), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b-с на рис. 3.18) (подразд. 3.4, п. 2).

Для частот имеем соответственно и , а также L(w)» 20 lg(k / wT3T4), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая с–d на рис. 3.18) (см. подразд. 3.4, п. 3).

Ломаная линия а–b–с–d представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ показана пунктиром. Она будет расходиться с асимптотической ЛАХ в местах изломов на 3 дБ.

 

 

Рис. 3.18. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена второго порядка

 

ЛФХ получается суммированием двух слагаемых (см. второе уравнение (3.52)). Каждое слагаемое дает фазовую характеристику, совпадающую с ЛФХ апериодического звена первого порядка (рис. 3.18). В результате суммирования получаем ЛФХ, ордината которой соответствует при и .