Реальное дифференцирующее звено

Звено описывается уравнением

. (3.80)

Передаточная функция звена

. (3.81)

Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка.

На рис. 3.29 изображены примеры реальных дифференцирующих звеньев: дифференцирующая RC-цепь (рис. 3.29, а), RL-цепь (рис. 3.29, б) и дифференцирующий трансформатор (рис. 3.29, в).

 

Рис. 3.29. Реальные дифференцирующие звенья

 

Переходная функция определяется решением (3.80) при х1 = 1(t) и нулевых начальных условиях

. (3.82)

Функция веса

. (3.83)

 

Временные характеристики изображены на рис. 3.30. Там же показаны построения, позволяющие по экспериментальным характеристикам определять параметры звена.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны:

; (3.84)

(3.85)

 

Рис. 3.30. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) реального дифференцирующего звена

 

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики звена изображены на рис. 3.31.

 

 

Рис. 3.31. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) реального дифференцирующего звена

 

Амплитудная характеристика реального звена отличается от амплитудной характеристики идеального дифференцирующего звена (показана пунктиром). Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k / T при . Для звеньев, представляющих собой RC- или RL-цепь (см. рис. 3.29), коэффициент k / T = 1, и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.

Это означает, что в дифференцирующей RC-цепи конденсатор имеет сопротивление, стремящееся к нулю, а в дифференцирующей RL-цепи индуктивность имеет сопротивление, стремящееся к бесконечности. И в том, и в другом случаях напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.

Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при . Здесь также видно, что реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот.

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот представляет собой полуокружность с диаметром, равным k/T. На полуокружности нанесены характерные точки: . Дополнив эту полуокружность её зеркальным изображением относительно вещественной оси, получим полную амплитудно-фазовую характеристику для всех частот, лежащих в пределах .

ЛАХ строится по выражению

. (3.86)

 

Для построения асимптотической ЛАХ (рис. 3.32) проведем вертикальную линию при сопрягающей частоте .

 

Рис. 3.32. ЛАХ и ЛФХ реального дифференцирующего звена

 

Левее этой линии, то есть при , можно воспользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая линия с положительным наклоном 20 дБ/дек (прямая а–b). Она может быть построена, например, по частоте среза .

Для частот можно пользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (b – с). Действительная ЛАХ отличается от асимптотической в точке излома «b» на величину 3 дБ.

На рис. 3.32 показана асимптотическая ЛАХ для случая k = 1 (ломаная прямая d–e–f).

ЛФХ строится по второму уравнению системы (3.85). Для этого сначала строится первое слагаемое y1 = +90⁰, а затем второе y2 = –аrctg ω Т. Результирующая ЛФХ показана сплошной линией. При фазовый сдвиг равен +45⁰.