Апериодическое звено первого порядка

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается уравнением

. (3.28)

Передаточная функция этого звена

. (3.29)

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь (рис. 3.11, а), где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R.В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

 

Рис. 3.11. Апериодические звенья первого порядка

 

Другим примером является RC-цепь (рис. 3.11, б) с коэффициентом передачи k = 1 и постоянной времени T = RC.

К этому же типу звена можно свести генератор постоянного тока, используемый в качестве электромашинного усилителя. Входной величиной является напряжение, подаваемое на обмотку возбуждения, а выходной – напряжение на якоре генератора. Предполагается, что генератор вращается с постоянной скоростью n = const посторонним источником. Апериодическим звеном первого порядка является также управляемый двигатель постоянного или переменного тока, если можно пренебречь переходными процессами в обмотке управления. Входной величиной здесь является напряжение, подводимое к управляющей обмотке, а выходной – скорость вращения двигателя.

Переходная функция звена найдется как решение уравнения (3.28) при x1 = 1 и начальном условии x2 = 0 при t = 0. Это решение представляет собой экспоненту (рис. 3.12, а)

. (3.30)

Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается, начиная с момента t = 0, то есть для положительного времени. Во многих случаях этот множитель опускается, но то, что экспонента рассматривается для t ≥ 0 необходимо иметь в виду.

 

Рис. 3.12. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) апериодического звена первого порядка

 

Отрезок, отсекаемый касательной к кривой, в любой точке кривой на асимптоте равен постоянной времени T. Видно, что чем больше постоянная времени звена, тем больше длится переходный процесс, то есть медленнее устанавливается статическое значение x2 = k на выходе звена.

Строго говоря, экспонента приближается к этому значению в бесконечности. Принято, что переходный процесс считается уже закончившимся через промежуток времени 3T, а в более точных расчетах до (4 – 5)Т.

Постоянная времени характеризует «инерционность» или «инерционное запаздывание» апериодического звена. Выходное значение x2 = k x1 в апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время после подачи входного воздействия tп.

Функция веса (рис. 3.12, б) может быть найдена дифференцированием (3.30)

. (3.31)

Частотная передаточная функция согласно (3.28), её модуль и фаза соответственно равны

; (3.32)

. (3.33)

Все три характеристики изображены на рис. 3.13. АФЧХ для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи звена k.Величина постоянной времени звена Т определяет распределение отметок ω вдоль кривой. Три характерные отметки показаны на рис. 3.13, а (ω = 0; ω = 1 / T и ω → µ).

 

Рис. 3.13. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена первого порядка

 

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот может быть дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром). В результате амплитудно-фазовая характеристика будет представлять замкнутую кривую – окружность.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот ω < 1 / T «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот ω > 1 / T проходят с сильным ослаблением амплитуды (малое значение А), то есть «плохо пропускаются» или практически «не пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, то есть чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А(ω) вдоль оси частот, или тем шире полоса пропускания частот у данного звена

. (3.34)

 

Кроме того, чем меньше постоянная времени звена, тем меньше получаются фазовые сдвиги между выходным и входным колебаниями.

Найдем выражения для вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель (3.32) на комплекс, сопряженный знаменателю

(3.35)

Отсюда

3.36)

Построим теперь логарифмические частотные характеристики апериодического звена первого порядка. Для построения ЛАХ здесь и далее будем считать, что коэффициент k безразмерный. Для (3.32) имеем

 

. (3.37)

 

Построим приближенную так называемую асимптотическую ЛАХ. Для этой цели на стандартной сетке (рис. 3.14) проведем вертикальную пунктирную прямую при частоте, называемой сопрягающей частотой w = 1 / T.

 

 

Рис. 3.14. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена первого порядка

 

Для частот, меньших, чем сопрягающая, то есть при w < 1 / T можно пренебречь вторым слагаемым под корнем (3.37), так как w2T2 < 1. Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 3.14) можно заменить (3.37) приближенным выражением L(w)» 20 lgk при w < 1 / T, которому соответствует прямая линия, параллельная оси частот (прямая а-b).

Для частот, больших, чем сопрягающая в выражении (3.37), можно пренебречь единицей по сравнению с ω 2 Т2 . Тогда вместо (3.37) будем иметь приближенное выражение L(w)» 20 lg(k / wT) при w > 1 / T, которому, согласно подразд. 3.4 (пункт 2), соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b-с).

Ломаная линия а-b-с и называется асимптотической (приближенной) ЛАХ. Как было видно, построение ее производится весьма просто – практически без вычислительной работы. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет несколько отличаться от асимптотической, причем наибольшее отклонение будет в точке в. Оно равно – 3 дБ, так как

 

, (3.38)

 

что в линейном масштабе соответствует отклонению в раз.

На всем остальном протяжении влево от сопрягающей частоты действительная ЛАХ будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дБ. Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической ЛАХ.

На том же рис. 3.14 показана логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ). Характерной ее особенностью является сдвиг по фазе, равный
–45⁰ при сопрягающей частоте (так как –arctg ω T = –arctg 1 = –45⁰), и симметрия ЛФХ относительно сопрягающей частоты. Для частоты ω = 0 фазовый сдвиг y = 0 и при ω → ∞ фазовый сдвиг y → –90⁰.