Инерционное интегрирующее звено

Звено описывается дифференциальным уравнением:

(3.65)

или

. (3.66)

Передаточная функция звена

. (3.67)

Примером такого звена является двигатель постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать напряжение на якоре, а в качестве выходной – угол поворота вала двигателя.

Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух звеньев, включенных последовательно, – идеального интегрирующего и апериодического звена первого порядка.

Для нахождения переходной характеристики удобно передаточную функцию представить в виде суммы

 

, (3.68)

 

что позволяет представить решение дифференциального уравнения в виде суммы решения для идеального интегрирующего звена и решения для апериодического звена первого порядка, которые были рассмотрены ранее. В результате получаем переходную функцию звена при х1 = 1(t) и нулевых начальных условиях

(3.69)

и функцию веса

. (3.70)

 

Временные характеристики изображены на рис. 3.22. На характеристиках изображены построения, с помощью которых можно по экспериментальной характеристике определить параметры звена.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза равны соответственно

; (3.71)

(3.72)

 

 

Рис. 3.22. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) инерционного интегрирующего звена

 

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики изображены на рис. 3.23. Из характеристик видно, что звено также пропускает сигналы тем сильнее, чем меньше их частота. В отличие от предыдущего звена фазовый сдвиг равен –90⁰ только на очень низких частотах. С ростом частоты фазовый сдвиг .

 

 

Рис. 3.23. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) инерционного интегрирующего звена

 

Построение ЛАХ выполняется по выражению

 

. (3.73)

 

Сначала проводится вертикальная линия (рис. 3.24), соответствующая сопрягающей частоте w = 1/T. При частотах, меньших, чем сопрягающая, можно приближенно положить .

 

Рис. 3.24. ЛАХ и ЛФХ инерционного интегрирующего звена

 

Это будет аналогичная предыдущему звену прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, имеющая частоту среза ω ср = k. Прямую можно провести в области малых частот до сопрягающей частоты (прямая а–b).

Правее сопрягающей частоты, то есть при частотах w > 1/T, выражение (2.73), можно пренебречь единицей по сравнению с . Поэтому вместо (2.73) можно принять приближенное выражение . Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек. Поэтому правее точки b нужно провести прямую с наклоном 40 дБ/дек (прямая b–c). Ломанная прямая а–b–c представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет иметь наибольшее отклонение от асимптотической в точке b, то есть при сопрягающей частоте. Ошибка в этой точке будет составлять 3 дБ, то есть в линейном масштабе ошибка амплитуды будет в раз меньше. По мере удаления от сопрягающей частоты влево и вправо действительная ЛАХ будет сливаться с асимптотами, то есть прямыми а–b и b–с.

ЛФХ строится суммированием постоянного фазового сдвига y1 = –90⁰ и переменного фазового сдвига y2 = –аrctg ω Т. При сопрягающей частоте имеем y2 = –45⁰ и y = y1 + y2 = –135⁰.

Из логарифмических характеристик видно, что звено приближается к идеальному интегрирующему звену при частотах, меньших сопрягающей, и тем точнее, чем меньше рабочая частота по сравнению с сопрягающей.