ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим интегралы вида:

,где R - рациональная функция.

Такие интегралы вычисляются при помощи универсальной подстановки

. Тогда .

После подстановки интеграл примет вид где R₁(t) - рациональная функция.

Интегралы вида: .

Рассмотрим 2 случая.

Случай 1

Хотя бы один из показателей - целое положительное нечетное число. Если положительное нечетное число n, то применяется подстановка Sinx = t, если

m - нечетное положительное число, то используется подстановка Cosx = t.

Случай 2

Оба показателя степени m и n - положительные четные числа. В этом случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени.

ЗАДАЧА № 18

Найти неопределенный интеграл .

=

=

ЗАДАЧА № 12

Найти неопределенный интеграл .

=

=

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a, в ]. Разделим отрезок

[ a, в ] на n произвольных частей точками а = х₀ < х₁ < х₂ <... < х_n-1 < х_n = в.

Выберем на каждом элементарном отрезке [ X_k-1, X_k ] произвольную точку С_k, обозначим длину элементарного отрезка через х_k = x_k - x_k-1­.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется сумма вида

.

Определение:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю .