ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, в ], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способов разбиения на отрезке [ a, в ] на элементарные отрезки, ни от выборов точек на этих отрезках.

Если функция f(x) на отрезке [ a, в ] положительна, то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. ; 2. ; 3. ;

4. ;

4.

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

,где F(x) - первообразная функции f(x), т.е. F¢(x) = f(x).

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Замена переменной в интеграле .

Делается подстановка х = j(t) и вычисляется дифференциал dx = j¢(t)dt. Находятся новые пределы интегрирования путем решения уравнений а = j(t),

в = j(t) относительно t. Тогда исходный интеграл примет вид:

.

2. Интегрирование по частям

где U = U(x), V = V(x) - непрерывно дифференцируемые функции на [ а, в ].

ЗАДАЧА № 20

Вычислить определенный интеграл:

1. ; 2.

 

1. =

2. =

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) [ f(x) ³ 0 ], прямыми х = а, х = в, у = 0, вычисляется по формуле .

		y = f(x)

 

 

 

2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f₁(x) и y = f₂(x) сверху и снизу соответственно, вычисляется по формуле: .

		y =f1(x)