Бесконечно большая функция

Пусть и в окрестности точки а, тогда функция называется бесконечно большой функцией. Обозначается .

Если функция f(x) - бесконечно большая и f(x)¹ 0 в окрестности точки а, то - бесконечно малая функция. Условные обозначения: .

Как понимать х ® + ¥;, х ® - ¥; и х ® ¥;? Будем говорить, что х ® + ¥;, если х может стать больше любого наперед заданного числа, х ® - ¥;, если х может стать меньше любого наперед заданного числа, х ® ¥;, если абсолютная величина х может стать больше любого наперед заданного числа.

Свойства пределов:

1. Предел суммы функций, состоящий из конечного числа слагаемых, равен сумме пределов.

2. Предел произведения равен произведению пределов.

3. Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя неравен нулю.

Например, если и , то

а) ;

б) ;

в) .

Неопределенности. Неопределенность

Рассмотрим вычисление . Подставим вместо х предельное значение 1: . Эта ситуация называется неопределенностью . Для того, чтобы вычислить , разложим знаменатель на множители

х²-1=(х-1)*(х+1), и подставим в выражение .

Рассмотрим вычисление . При стремлении х к бесконечности, многочлены в числителе и знаменателе стремятся к бесконечности, и возникает неопределенность вида . Для того, чтобы вычислить , вынесем х² в числителе и знаменателе за скобки

= .

Замечательные пределы и следствия из них.