Задание 1.1.

1. Найти и функции .

> f:=arctan(x/y):

Diff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

.

2. Найти все частные производные 2-го порядка функции .

> restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

.

Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.

Для исследования функции на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Если ограничений не указывать, то будет производиться поиск локального экстремума.

К сожалению, команда extrema выдает все критические точки, то есть и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью непосредственной подстановки этих точек в функцию, например, оператором subs.

Так же, как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных вычисляются командами maximize(f,{x1,…,xn},range), и minimize(f,{x1,…,xn}, range), где следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она зависит, а затем интервалы для каждой переменной, указывающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при выполнении определенных ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств, то следует использовать симплекс-метод. Для этого сначала необходимо загрузит пакет simplex, а затем воспользоваться командой maximize (или minimize), где теперь в качестве range можно указывать в фигурных скобках ограничительную систему неравенств. Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize меняют свое действие. Теперь эти команды выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. При этом допускается дополнительная опция для поиска только неотрицательных решений NONNEGATIVE.