Напряжения sa и ta, действующие на площадке a, вызываются действием как напряжения s1, так и напряжения s2. Применяя принцип суперпозиции, получим выражения
, ,
где - напряжения, вызванные действием s1,
- напряжения, вызванные действием s2.
Согласно уравнениям (4.1), (4.2)
,
Для определения и следует учесть, что нормаль na образует с направлением s2 угол b = 90 – a. Согласно правилам знаков для углов, он будет отрицательным. Тогда
| |
Пусть по боковым граням элементарного параллелепипеда действуют главные напряжения s
1 и s
2. Определим напряжения на произвольной наклонной площадке, расположенной под углом a к главной (рис. 4. 8).
С учетом этих преобразований
,
.
Тогда
(4.6)
(4.7)
Напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем по формулам (4.3), (4.4) учитывая, что угол между напряжением σ1 и нормалью nβ равен
, а между
напряжением σ2 и этой же нормалью – α.
(4.8)
(4.9)
При сложении выражений (4.6) и (4.8) подтверждается положение, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная,
т. е.
.
Для определения наибольшего и наименьшего значения нормального напряжения вычислим первую производную от sa по a выражения (4.6) и приравняем ее к нулю:
. (4.10)
Уравнение (4.10) удовлетворяется при a=0° и a=90°. Согласно (4.6)
при a=0°, а при a=90°
. В обоих этих случаях ta=0, следовательно, нормальные напряжения s1 и s2 принимают экстремальные значения на главных площадках.
Наибольшее значение касательных напряжений, как следует из формулы (4.7), будут при a = 45°, т.е.,:
(4.11)