Продольно - поперечный изгиб

Рассмотрим нагружение прямого шарнирно закреплённого стержня продольной силой F и системой поперечных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно- поперчным изгибом. Обозначим у(z) прогиб балки в сечении c абсциссой z. Воспользуемся дифференциальным уравнением упругой линии балки, в котором изгибающий момент можно рассматривать как сумму моментов поперечных сил и момента продольной силы F·y. Полный прогиб у складывается из прогиба у_п от поперечных сил и дополнительного прогиба у-у_п от осевой силы F. Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечных и продольных сил, так как при действии только силы F прогиб равен нулю. Следовательно, в данном случае принцип независимости действия сил не применим.

(8.5).

Разделим левую и правую части выражения (9.5) на EI:

(8.6)

Так как , то подставив это значение в (8.6), получим

,

или

(8.7).

Для упрощения решения предполагается, что дополнительный прогиб по длине балки изменяется по синусоиде, т.е.

(8.8).

Это допущение позволяет получить точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону.

С учётом (8.8) выражение (8.7) примет вид

: .

После двухкратного дифференцирования этого уравнения получим

,

или .

Из этого равенства на ходим

.

Выражение =F_э совпадает в формулой Эйлера, тогда

у= (8.9)

Необходимо отличать эйлерову силу F_э от критической силы F_кр, вычисляемой по формуле Эйлера для стержней большой гибкости (). Эйлерова сила F_э не зависит от гибкости стержня.

Из формулы (8.9), что отношение является критерием жесткости при продольно поперечном изгибе. Если → 0, жёсткость балки велика и . При → 1 жёсткость мала, балка очень гибкая и у→ ∞, т.е., прогибы многократно возрастают по сравнению с .

 

Формула (8.9) достаточно точная при F≤F_кр.

 

Расчёт на прочность при продольно – поперечном изгибе

Условие прочности при поперечном изгибе получено в предположении, что внутренние усилия изменяются пропорционально изменению внешних сил. Как установлено ранее, при продольно-поперечном изгибе эта зависимость нелинейная.

Предполагая, что моменты пропорциональны прогибам, можно записать

(8.10)

Будем считать, что при переходе к предельному состоянию внешние нагрузки возрастают пропорционально, тогда справедливы отношения

(8.11)

Здесь и нагрузки, при которых в балке напряжения достигают предела текучести

(). Из (8.11) следует .

Наибольшие напряжения при поперечном изгибе с растяжением вычисляются по формуле

= .

При достижении предельного состояния они будут равны

= .

 

Разделив правую и левую часть этого уравнения на коэффициент запаса по текучести , получим

.

Так как , то условие прочности при продольно-поперечном изгибе примет вид

. (8.12)

 

Нелинейность в этом выражении определяется коэффициентом . За счёт этой нелинейности левая часть условия прочности будет несколько меньше.