Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки Коши.

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится.

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

1. , тогда существует , существует , для любого .
   Ряд из сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из сходится (по признаку сравнения).
2. , тогда существует . для любого . Тогда не стремится к нулю и ряд расходится.

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Пусть для функции f(x) выполняется:

1. (функция принимает неотрицательные значения)
2. (функция монотонно убывает)
3. (соответствие функции ряду)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
2. Площадь большей фигуры равна
3. Площадь меньшей фигуры равна
4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна
5. Получаем
6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.