Студопедия — Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда






Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы соблюдалось )

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

  • Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.

  • Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

  • Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

  • Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .
  • Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки и .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.







Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 183. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия