Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты 
берутся из некоторого кольца 
.
Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается 
. Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.
В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть
Тогда:
(при этом необходимо, чтобы соблюдалось 
)
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
- Первая теорема Абеля: Пусть ряд
сходится в точке 
. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге 
и равномерно по 
на любом компактном подмножестве этого круга.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при 
, он расходится при всех , таких что 
. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при 
ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при 
— расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.
- Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
(По поводу определения верхнего предела 
см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть 
и 
— два степенных ряда с радиусами сходимости 
и 
. Тогда
Если у ряда свободный член нулевой, тогда
Вопрос о сходимости ряда в точках границы 
круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
- Признак Д’Аламбера: Если при
и 
выполнено неравенство
тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .
- Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности
, кроме, быть может, точки 
. - Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки
и .
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.
