Метод неопределенных коэффициентов

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 14 151617 18 19 Следующая ⇒

Правая часть f (x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

где P_n (x) и Q_m (x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае 1, если число α; в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α; в характеристическом уравнении.

В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Числовые ряды. Основные понятия и определения

Числовым рядом называется бесконечная сумма Числа называются, соответственно, первым, вторым, n –м … членами ряда. называется также общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера n: . Определение: Сумма n первых членов ряда называется n –й частичной суммой ряда: . Определение: Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда, а ряд при этом называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся. В школьном курсе математики рассматриваются такие ряды, как натуральный ряд чисел и бесконечная геометрическая прогрессия: . Известно, что при сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , то есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является сходящимся числовым рядом.

2. Простейшие свойства числовых рядов

Теорема 1: Если ряд

(1)

сходится и имеет сумму S, то ряд

(2)

где λ;–произвольное число, также сходится и имеет сумму λ;· S

Доказательство: Пусть и – n –е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно.

Тогда и , следовательно, ряд (2) сходится и имеет сумму

Теорема 2: Если ряды

	(1)
	(3)

сходятся и имеют суммы S и соответственно, то ряды

(4)

называемые суммой и разностью соответственно рядов (1) и (3), также сходятся и имеют суммы соответственно.

Доказательство: Пусть , и – n –е частичные суммы рядов (1), (3) и (4) соответственно. Тогда

что доказывает теорему.

Теорема 3: Ряды сходятся или сходятся одновременно

	(1)
	(5)

Доказательство:

Пусть

Очевидно , где k –некоторое число, не зависящее от n. Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, то есть . Тогда

это означает, что ряд (5) сходится, так как ––я частичная сумма ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , то есть . Тогда что означает сходимость ряда (1). Аналогично доказываются случаи рассходимости. Предоставляем сделать это самостоятельно.

Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд

сходится, то .

Доказательство: Пусть данный ряд имеет сумму S.

Так как ряд сходится, то и , тогда , что и требовалось доказать.

Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.)

Если у числового ряда , то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по теореме (4) .

Замечание: Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых . В качестве примера рассмотрим ряд .

Очевидно . Рассмотрим . Так как то

Следовательно , то есть , что означает расходимость рассматриваемого ряда.

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 14 151617 18 19 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 236. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при которых тело находится под действием заданной системы сил...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия