Метод неопределенных коэффициентов

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 14 151617 18 19 Следующая ⇒

Правая часть f (x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

где P_n (x) и Q_m (x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае 1, если число α; в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α; в характеристическом уравнении.

В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Числовые ряды. Основные понятия и определения

Числовым рядом называется бесконечная сумма Числа называются, соответственно, первым, вторым, n –м … членами ряда. называется также общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера n: . Определение: Сумма n первых членов ряда называется n –й частичной суммой ряда: . Определение: Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда, а ряд при этом называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся. В школьном курсе математики рассматриваются такие ряды, как натуральный ряд чисел и бесконечная геометрическая прогрессия: . Известно, что при сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , то есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является сходящимся числовым рядом.

2. Простейшие свойства числовых рядов

Теорема 1: Если ряд

(1)

сходится и имеет сумму S, то ряд

(2)

где λ;–произвольное число, также сходится и имеет сумму λ;· S

Доказательство: Пусть и – n –е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно.

Тогда и , следовательно, ряд (2) сходится и имеет сумму

Теорема 2: Если ряды

	(1)
	(3)

сходятся и имеют суммы S и соответственно, то ряды

(4)

называемые суммой и разностью соответственно рядов (1) и (3), также сходятся и имеют суммы соответственно.

Доказательство: Пусть , и – n –е частичные суммы рядов (1), (3) и (4) соответственно. Тогда

что доказывает теорему.

Теорема 3: Ряды сходятся или сходятся одновременно

	(1)
	(5)

Доказательство:

Пусть

Очевидно , где k –некоторое число, не зависящее от n. Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, то есть . Тогда

это означает, что ряд (5) сходится, так как ––я частичная сумма ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , то есть . Тогда что означает сходимость ряда (1). Аналогично доказываются случаи рассходимости. Предоставляем сделать это самостоятельно.

Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд

сходится, то .

Доказательство: Пусть данный ряд имеет сумму S.

Так как ряд сходится, то и , тогда , что и требовалось доказать.

Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.)

Если у числового ряда , то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по теореме (4) .

Замечание: Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых . В качестве примера рассмотрим ряд .

Очевидно . Рассмотрим . Так как то

Следовательно , то есть , что означает расходимость рассматриваемого ряда.

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 14 151617 18 19 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 212. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия