Расстояние от точки до прямой в пространстве (вывод формулы). Расстояние между параллельными прямыми в пространстве.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если s(p) = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s(p) = {m; n; p} - направляющий вектор прямой и M₁(x₁, y₁, z₁) - координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M₀M₁×S(p)|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Можно найти расстояние между прямыми в пространстве как расстояние между плоскостями.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плоскость.

Если заданы уравнения параллельных плоскостей A_x + B_y + C_z + D₁ = 0 и A_x + B_y + C_z + D₂ =0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

а если уравнениями и то

28.Определение эллипса и вывод канонического уравнения.