Директрисы эллипса

Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а⁄ ε от него, называются директрисами эллипса (здесь, а — большая полуось, ε — эксцентриситет эллипса).

Так как для эллипса ε < 1, то a ⁄ ε > a. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая — общее свойство, присущее эллипсу.

Теорема. Если r1 — фокальное расстояние произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r1 ⁄d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе F1 и правой директрисе. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса. Расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством

 

 

Кроме того, r2 = a - ε·x

Составляя отношение, получим

Аналогично доказывается для левого фокуса эллипса.

 

29. Определение гиперболы и вывод канонического уравнения.

Гипербола – это геометрическое место точек для каждой из которых разность расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами есть постоянная величина =2а и требуется что-бы эта величина была меньше, чем расстояние между фокусами.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению

гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂ =±2a,

 

30.Определение параболы и вывод канонического уравнения.

Параболой называется множеством всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки F равно расстоянию до фиксированной прямой. Фиксированную точку мы будем называть фокусом, фиксированную прямую — директрисой параболы.

Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда в выбранной системе координат точка F имеет координаты (р/2,0). Пусть М — точка плоскости с координатами (x,y). Обозначим через r расстояние от М до F, а через d – расстояние от М до директрисы. Согласно определению параболы равенство:

r = d является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной параболе. Так как то

Преобразуя формулу получим: каноническое уравнение параболы

Свойства параболы:

1°. Парабола имеет одну ось симметрии (ось Ох). Эта ось называется ось параболы.

2°. Поскольку ,то парабола целиком содержится в полуплоскости (х ≥ 0), граница которой перпендикулярна оси параболы.

31.Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

 

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической _квадратичнойHYPERLINK "форма%22квадратичной%20формы" HYPERLINK "форма%22квадратичной%20формы"формы, соответствующей уравнению кривой

 

Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, _мнимымHYPERLINK "эллипс%22мнимым%20эллипсом" HYPERLINK "эллипс%22мнимым%20эллипсом"эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

 

или

 

Корни этого уравнения являются ___собственнымиHYPERLINK "пространства%22собственными%20значениями" HYPERLINK "пространства%22собственными%20значениями"значениями вещественной симметричной матрицы

 

и, как следствие этого, всегда вещественны.